Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65424 / 45456
↖ ↑ ↗
← N 48.195387°
W  0.307617°		 ← 203.55 m → N 48.195387°
W  0.304871°		 →
↑
203.55 m
↓
↑
203.55 m
↓
N 48.193557°
W  0.307617°		 ← 203.56 m →
41 434 m²		 N 48.193557°
W  0.304871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499149322509766 y=0.346805572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499149322509766 × 217)
    floor (0.499149322509766 × 131072)
    floor (65424.5)     		tx = 65424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346805572509766 × 217)
    floor (0.346805572509766 × 131072)
    floor (45456.5)     		ty = 45456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65424 / 45456 ti = "17/65424/45456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65424/45456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65424 ÷ 217
    65424 ÷ 131072     		x = 0.4991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45456 ÷ 217
    45456 ÷ 131072     		y = 0.3468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3468017578125 × 2 - 1) × π
    0.306396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.962572944370728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00536893} λ = -0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962572944370728))-π/2
    2×atan(2.61842487535254)-π/2
    2×1.2059822606631-π/2
    2.41196452132619-1.57079632675     		φ = 0.84116819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84116819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.195387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65424 KachelY 45456 -0.00536893 0.84116819 -0.307617 48.195387
    Oben rechts KachelX + 1 65425 KachelY 45456 -0.00532100 0.84116819 -0.304871 48.195387
    Unten links KachelX 65424 KachelY + 1 45457 -0.00536893 0.84113624 -0.307617 48.193557
    Unten rechts KachelX + 1 65425 KachelY + 1 45457 -0.00532100 0.84113624 -0.304871 48.193557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84116819-0.84113624) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dl = 203.553450000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84116819-0.84113624) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dr = 203.553450000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00536893--0.00532100) × cos(0.84116819) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.666592485960353 × 6371000     		do = 203.552034695599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00536893--0.00532100) × cos(0.84113624) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.666616301863726 × 6371000     		du = 203.559307168199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84116819)-sin(0.84113624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666592485960353-0.666616301863726)×R²
    abs(-0.00532100--0.00536893)×2.38159033727481e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38159033727481e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38159033727481e-05×40589641000000     		ar = 41434.4590887846m²