Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65423 / 48085
↖ ↑ ↗
← N 43.155106°
W  0.310364°		 ← 222.81 m → N 43.155106°
W  0.307617°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
N 43.153101°
W  0.310364°		 ← 222.82 m →
49 656 m²		 N 43.153101°
W  0.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499141693115234 y=0.366863250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499141693115234 × 217)
    floor (0.499141693115234 × 131072)
    floor (65423.5)     		tx = 65423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366863250732422 × 217)
    floor (0.366863250732422 × 131072)
    floor (48085.5)     		ty = 48085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65423 / 48085 ti = "17/65423/48085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65423/48085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65423 ÷ 217
    65423 ÷ 131072     		x = 0.499137878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48085 ÷ 217
    48085 ÷ 131072     		y = 0.366859436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499137878417969 × 2 - 1) × π
    -0.0017242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00541687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366859436035156 × 2 - 1) × π
    0.266281127929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.8365468352696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00541687} λ = -0.00541687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8365468352696))-π/2
    2×atan(2.30838197473259)-π/2
    2×1.16199750103456-π/2
    2.32399500206912-1.57079632675     		φ = 0.75319868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00541687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.310364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75319868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.155106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65423 KachelY 48085 -0.00541687 0.75319868 -0.310364 43.155106
    Oben rechts KachelX + 1 65424 KachelY 48085 -0.00536893 0.75319868 -0.307617 43.155106
    Unten links KachelX 65423 KachelY + 1 48086 -0.00541687 0.75316370 -0.310364 43.153101
    Unten rechts KachelX + 1 65424 KachelY + 1 48086 -0.00536893 0.75316370 -0.307617 43.153101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75319868-0.75316370) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dl = 222.857580000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75319868-0.75316370) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dr = 222.857580000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00541687--0.00536893) × cos(0.75319868) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729504785169158 × 6371000     		do = 222.80953884383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00541687--0.00536893) × cos(0.75316370) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72952871019309 × 6371000     		du = 222.816846161969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75319868)-sin(0.75316370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729504785169158-0.72952871019309)×R²
    abs(-0.00536893--0.00541687)×2.39250239313371e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39250239313371e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39250239313371e-05×40589641000000     		ar = 49655.6088784365m²