Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65423 / 46223
↖ ↑ ↗
← N 46.771849°
W  0.310364°		 ← 209.19 m → N 46.771849°
W  0.307617°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 46.769968°
W  0.310364°		 ← 209.19 m →
43 754 m²		 N 46.769968°
W  0.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499141693115234 y=0.352657318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499141693115234 × 217)
    floor (0.499141693115234 × 131072)
    floor (65423.5)     		tx = 65423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352657318115234 × 217)
    floor (0.352657318115234 × 131072)
    floor (46223.5)     		ty = 46223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65423 / 46223 ti = "17/65423/46223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65423/46223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65423 ÷ 217
    65423 ÷ 131072     		x = 0.499137878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46223 ÷ 217
    46223 ÷ 131072     		y = 0.352653503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499137878417969 × 2 - 1) × π
    -0.0017242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00541687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352653503417969 × 2 - 1) × π
    0.294692993164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.925805342362145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00541687} λ = -0.00541687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925805342362145))-π/2
    2×atan(2.52390004573156)-π/2
    2×1.19355954990027-π/2
    2.38711909980053-1.57079632675     		φ = 0.81632277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00541687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.310364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81632277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.771849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65423 KachelY 46223 -0.00541687 0.81632277 -0.310364 46.771849
    Oben rechts KachelX + 1 65424 KachelY 46223 -0.00536893 0.81632277 -0.307617 46.771849
    Unten links KachelX 65423 KachelY + 1 46224 -0.00541687 0.81628994 -0.310364 46.769968
    Unten rechts KachelX + 1 65424 KachelY + 1 46224 -0.00536893 0.81628994 -0.307617 46.769968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81632277-0.81628994) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81632277-0.81628994) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00541687--0.00536893) × cos(0.81632277) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.684905180108498 × 6371000     		do = 209.18767146447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00541687--0.00536893) × cos(0.81628994) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.684929100734778 × 6371000     		du = 209.194977439453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81632277)-sin(0.81628994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684905180108498-0.684929100734778)×R²
    abs(-0.00536893--0.00541687)×2.39206262797609e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39206262797609e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39206262797609e-05×40589641000000     		ar = 43754.442782955m²