Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65422 / 45462
↖ ↑ ↗
← N 48.184401°
W  0.313111°		 ← 203.64 m → N 48.184401°
W  0.310364°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
N 48.182570°
W  0.313111°		 ← 203.65 m →
41 465 m²		 N 48.182570°
W  0.310364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499134063720703 y=0.346851348876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499134063720703 × 217)
    floor (0.499134063720703 × 131072)
    floor (65422.5)     		tx = 65422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346851348876953 × 217)
    floor (0.346851348876953 × 131072)
    floor (45462.5)     		ty = 45462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65422 / 45462 ti = "17/65422/45462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65422/45462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65422 ÷ 217
    65422 ÷ 131072     		x = 0.499130249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45462 ÷ 217
    45462 ÷ 131072     		y = 0.346847534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499130249023438 × 2 - 1) × π
    -0.001739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00546481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346847534179688 × 2 - 1) × π
    0.306304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.962285322973007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00546481} λ = -0.00546481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962285322973007))-π/2
    2×atan(2.61767186862568)-π/2
    2×1.20588638725567-π/2
    2.41177277451135-1.57079632675     		φ = 0.84097645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00546481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.313111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84097645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.184401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65422 KachelY 45462 -0.00546481 0.84097645 -0.313111 48.184401
    Oben rechts KachelX + 1 65423 KachelY 45462 -0.00541687 0.84097645 -0.310364 48.184401
    Unten links KachelX 65422 KachelY + 1 45463 -0.00546481 0.84094449 -0.313111 48.182570
    Unten rechts KachelX + 1 65423 KachelY + 1 45463 -0.00541687 0.84094449 -0.310364 48.182570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84097645-0.84094449) × R
    3.1959999999942e-05 × 6371000     		dl = 203.617159999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84097645-0.84094449) × R
    3.1959999999942e-05 × 6371000     		dr = 203.617159999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00546481--0.00541687) × cos(0.84097645) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.66673540098463 × 6371000     		do = 203.638153229927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00546481--0.00541687) × cos(0.84094449) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666759220256616 × 6371000     		du = 203.645428248699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84097645)-sin(0.84094449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66673540098463-0.666759220256616)×R²
    abs(-0.00541687--0.00546481)×2.38192719863584e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38192719863584e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38192719863584e-05×40589641000000     		ar = 41464.963091077m²