Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65421 / 48157
↖ ↑ ↗
← N 43.010673°
W  0.315857°		 ← 223.29 m → N 43.010673°
W  0.313111°		 →
↑
223.30 m
↓
↑
223.30 m
↓
N 43.008664°
W  0.315857°		 ← 223.30 m →
49 862 m²		 N 43.008664°
W  0.313111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499126434326172 y=0.367412567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499126434326172 × 217)
    floor (0.499126434326172 × 131072)
    floor (65421.5)     		tx = 65421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367412567138672 × 217)
    floor (0.367412567138672 × 131072)
    floor (48157.5)     		ty = 48157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65421 / 48157 ti = "17/65421/48157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65421/48157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65421 ÷ 217
    65421 ÷ 131072     		x = 0.499122619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48157 ÷ 217
    48157 ÷ 131072     		y = 0.367408752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499122619628906 × 2 - 1) × π
    -0.0017547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00551274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367408752441406 × 2 - 1) × π
    0.265182495117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.833095378496956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00551274} λ = -0.00551274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833095378496956))-π/2
    2×atan(2.30042842768954)-π/2
    2×1.16073708809481-π/2
    2.32147417618962-1.57079632675     		φ = 0.75067785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00551274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.315857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75067785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.010673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65421 KachelY 48157 -0.00551274 0.75067785 -0.315857 43.010673
    Oben rechts KachelX + 1 65422 KachelY 48157 -0.00546481 0.75067785 -0.313111 43.010673
    Unten links KachelX 65421 KachelY + 1 48158 -0.00551274 0.75064280 -0.315857 43.008664
    Unten rechts KachelX + 1 65422 KachelY + 1 48158 -0.00546481 0.75064280 -0.313111 43.008664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75067785-0.75064280) × R
    3.50499999999254e-05 × 6371000     		dl = 223.303549999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75067785-0.75064280) × R
    3.50499999999254e-05 × 6371000     		dr = 223.303549999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00551274--0.00546481) × cos(0.75067785) × R
    4.79300000000007e-05 × 0.731226651977301 × 6371000     		do = 223.288854837895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00551274--0.00546481) × cos(0.75064280) × R
    4.79300000000007e-05 × 0.731250560345122 × 6371000     		du = 223.296155545627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75067785)-sin(0.75064280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731226651977301-0.731250560345122)×R²
    abs(-0.00546481--0.00551274)×2.39083678211793e-05×R²
    4.79300000000007e-05×2.39083678211793e-05×6371000²
    4.79300000000007e-05×2.39083678211793e-05×40589641000000     		ar = 49862.0091026207m²