Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65420 / 46228
↖ ↑ ↗
← N 46.762443°
W  0.318603°		 ← 209.22 m → N 46.762443°
W  0.315857°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
N 46.760562°
W  0.318603°		 ← 209.23 m →
43 775 m²		 N 46.760562°
W  0.315857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499118804931641 y=0.352695465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499118804931641 × 217)
    floor (0.499118804931641 × 131072)
    floor (65420.5)     		tx = 65420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352695465087891 × 217)
    floor (0.352695465087891 × 131072)
    floor (46228.5)     		ty = 46228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65420 / 46228 ti = "17/65420/46228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65420/46228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65420 ÷ 217
    65420 ÷ 131072     		x = 0.499114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46228 ÷ 217
    46228 ÷ 131072     		y = 0.352691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.00177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00556068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352691650390625 × 2 - 1) × π
    0.29461669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.925565657864044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00556068} λ = -0.00556068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925565657864044))-π/2
    2×atan(2.52329517850739)-π/2
    2×1.19347746215596-π/2
    2.38695492431192-1.57079632675     		φ = 0.81615860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00556068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.318603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81615860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.762443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65420 KachelY 46228 -0.00556068 0.81615860 -0.318603 46.762443
    Oben rechts KachelX + 1 65421 KachelY 46228 -0.00551274 0.81615860 -0.315857 46.762443
    Unten links KachelX 65420 KachelY + 1 46229 -0.00556068 0.81612576 -0.318603 46.760562
    Unten rechts KachelX + 1 65421 KachelY + 1 46229 -0.00551274 0.81612576 -0.315857 46.760562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81615860-0.81612576) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dl = 209.223639999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81615860-0.81612576) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dr = 209.223639999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00556068--0.00551274) × cos(0.81615860) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.685024790427807 × 6371000     		do = 209.224203534757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00556068--0.00551274) × cos(0.81612576) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.685048714647238 × 6371000     		du = 209.231510607181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81615860)-sin(0.81612576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685024790427807-0.685048714647238)×R²
    abs(-0.00551274--0.00556068)×2.39242194312039e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39242194312039e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39242194312039e-05×40589641000000     		ar = 43775.4138496213m²