Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65419 / 44760
↖ ↑ ↗
← N 49.453843°
W  0.321350°		 ← 198.55 m → N 49.453843°
W  0.318603°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
N 49.452057°
W  0.321350°		 ← 198.55 m →
39 416 m²		 N 49.452057°
W  0.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499111175537109 y=0.341495513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499111175537109 × 217)
    floor (0.499111175537109 × 131072)
    floor (65419.5)     		tx = 65419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341495513916016 × 217)
    floor (0.341495513916016 × 131072)
    floor (44760.5)     		ty = 44760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65419 / 44760 ti = "17/65419/44760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65419/44760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65419 ÷ 217
    65419 ÷ 131072     		x = 0.499107360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44760 ÷ 217
    44760 ÷ 131072     		y = 0.34149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499107360839844 × 2 - 1) × π
    -0.0017852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00560862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34149169921875 × 2 - 1) × π
    0.3170166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.995937026506287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00560862} λ = -0.00560862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995937026506287))-π/2
    2×atan(2.70725992744963)-π/2
    2×1.21696435390524-π/2
    2.43392870781048-1.57079632675     		φ = 0.86313238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00560862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.321350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86313238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.453843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65419 KachelY 44760 -0.00560862 0.86313238 -0.321350 49.453843
    Oben rechts KachelX + 1 65420 KachelY 44760 -0.00556068 0.86313238 -0.318603 49.453843
    Unten links KachelX 65419 KachelY + 1 44761 -0.00560862 0.86310122 -0.321350 49.452057
    Unten rechts KachelX + 1 65420 KachelY + 1 44761 -0.00556068 0.86310122 -0.318603 49.452057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86313238-0.86310122) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86313238-0.86310122) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00560862--0.00556068) × cos(0.86313238) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.650060420367034 × 6371000     		do = 198.545184935311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00560862--0.00556068) × cos(0.86310122) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.650084097990883 × 6371000     		du = 198.552416691097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86313238)-sin(0.86310122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650060420367034-0.650084097990883)×R²
    abs(-0.00556068--0.00560862)×2.36776238490277e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36776238490277e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36776238490277e-05×40589641000000     		ar = 39415.9794181415m²