Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65417 / 48070
↖ ↑ ↗
← N 43.185153°
W  0.326843°		 ← 222.70 m → N 43.185153°
W  0.324096°		 →
↑
222.67 m
↓
↑
222.67 m
↓
N 43.183150°
W  0.326843°		 ← 222.71 m →
49 589 m²		 N 43.183150°
W  0.324096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499095916748047 y=0.366748809814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499095916748047 × 217)
    floor (0.499095916748047 × 131072)
    floor (65417.5)     		tx = 65417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366748809814453 × 217)
    floor (0.366748809814453 × 131072)
    floor (48070.5)     		ty = 48070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65417 / 48070 ti = "17/65417/48070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65417/48070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65417 ÷ 217
    65417 ÷ 131072     		x = 0.499092102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48070 ÷ 217
    48070 ÷ 131072     		y = 0.366744995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499092102050781 × 2 - 1) × π
    -0.0018157958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00570449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366744995117188 × 2 - 1) × π
    0.266510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.837265888763901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00570449} λ = -0.00570449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837265888763901))-π/2
    2×atan(2.31004242176128)-π/2
    2×1.16225971302095-π/2
    2.3245194260419-1.57079632675     		φ = 0.75372310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00570449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.326843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75372310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.185153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65417 KachelY 48070 -0.00570449 0.75372310 -0.326843 43.185153
    Oben rechts KachelX + 1 65418 KachelY 48070 -0.00565655 0.75372310 -0.324096 43.185153
    Unten links KachelX 65417 KachelY + 1 48071 -0.00570449 0.75368815 -0.326843 43.183150
    Unten rechts KachelX + 1 65418 KachelY + 1 48071 -0.00565655 0.75368815 -0.324096 43.183150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75372310-0.75368815) × R
    3.49499999999781e-05 × 6371000     		dl = 222.66644999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75372310-0.75368815) × R
    3.49499999999781e-05 × 6371000     		dr = 222.66644999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00570449--0.00565655) × cos(0.75372310) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.729145994332221 × 6371000     		do = 222.699954886958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00570449--0.00565655) × cos(0.75368815) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.729169912205291 × 6371000     		du = 222.707260021039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75372310)-sin(0.75368815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729145994332221-0.729169912205291)×R²
    abs(-0.00565655--0.00570449)×2.39178730698786e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.39178730698786e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.39178730698786e-05×40589641000000     		ar = 49588.6216789842m²