Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65416 / 46472
↖ ↑ ↗
← N 46.301406°
W  0.329590°		 ← 211.01 m → N 46.301406°
W  0.326843°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
N 46.299509°
W  0.329590°		 ← 211.02 m →
44 525 m²		 N 46.299509°
W  0.326843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499088287353516 y=0.354557037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499088287353516 × 217)
    floor (0.499088287353516 × 131072)
    floor (65416.5)     		tx = 65416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354557037353516 × 217)
    floor (0.354557037353516 × 131072)
    floor (46472.5)     		ty = 46472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65416 / 46472 ti = "17/65416/46472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65416/46472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65416 ÷ 217
    65416 ÷ 131072     		x = 0.49908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46472 ÷ 217
    46472 ÷ 131072     		y = 0.35455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35455322265625 × 2 - 1) × π
    0.2908935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.91386905435675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00575243} λ = -0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91386905435675))-π/2
    2×atan(2.49395313094508)-π/2
    2×1.18945415623692-π/2
    2.37890831247383-1.57079632675     		φ = 0.80811199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80811199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.301406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65416 KachelY 46472 -0.00575243 0.80811199 -0.329590 46.301406
    Oben rechts KachelX + 1 65417 KachelY 46472 -0.00570449 0.80811199 -0.326843 46.301406
    Unten links KachelX 65416 KachelY + 1 46473 -0.00575243 0.80807887 -0.329590 46.299509
    Unten rechts KachelX + 1 65417 KachelY + 1 46473 -0.00570449 0.80807887 -0.326843 46.299509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80811199-0.80807887) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dl = 211.007519999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80811199-0.80807887) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dr = 211.007519999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00575243--0.00570449) × cos(0.80811199) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.690864664681021 × 6371000     		do = 211.007851450052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00575243--0.00570449) × cos(0.80807887) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.690888609535635 × 6371000     		du = 211.015164824992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80811199)-sin(0.80807887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690864664681021-0.690888609535635)×R²
    abs(-0.00570449--0.00575243)×2.39448546139887e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39448546139887e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39448546139887e-05×40589641000000     		ar = 44525.0150277172m²