Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65416 / 45463
↖ ↑ ↗
← N 48.182570°
W  0.329590°		 ← 203.65 m → N 48.182570°
W  0.326843°		 →
↑
203.68 m
↓
↑
203.68 m
↓
N 48.180738°
W  0.329590°		 ← 203.65 m →
41 479 m²		 N 48.180738°
W  0.326843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499088287353516 y=0.346858978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499088287353516 × 217)
    floor (0.499088287353516 × 131072)
    floor (65416.5)     		tx = 65416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346858978271484 × 217)
    floor (0.346858978271484 × 131072)
    floor (45463.5)     		ty = 45463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65416 / 45463 ti = "17/65416/45463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65416/45463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65416 ÷ 217
    65416 ÷ 131072     		x = 0.49908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45463 ÷ 217
    45463 ÷ 131072     		y = 0.346855163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346855163574219 × 2 - 1) × π
    0.306289672851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.962237386073387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00575243} λ = -0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962237386073387))-π/2
    2×atan(2.61754638855966)-π/2
    2×1.20587040635617-π/2
    2.41174081271233-1.57079632675     		φ = 0.84094449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84094449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.182570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65416 KachelY 45463 -0.00575243 0.84094449 -0.329590 48.182570
    Oben rechts KachelX + 1 65417 KachelY 45463 -0.00570449 0.84094449 -0.326843 48.182570
    Unten links KachelX 65416 KachelY + 1 45464 -0.00575243 0.84091252 -0.329590 48.180738
    Unten rechts KachelX + 1 65417 KachelY + 1 45464 -0.00570449 0.84091252 -0.326843 48.180738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84094449-0.84091252) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dl = 203.680869999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84094449-0.84091252) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dr = 203.680869999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00575243--0.00570449) × cos(0.84094449) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666759220256616 × 6371000     		do = 203.645428248699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00575243--0.00570449) × cos(0.84091252) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666783046300066 × 6371000     		du = 203.652705335651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84094449)-sin(0.84091252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666759220256616-0.666783046300066)×R²
    abs(-0.00570449--0.00575243)×2.38260434496373e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38260434496373e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38260434496373e-05×40589641000000     		ar = 41479.419102315m²