Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65407 / 46212
↖ ↑ ↗
← N 46.792538°
W  0.354309°		 ← 209.11 m → N 46.792538°
W  0.351562°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
N 46.790658°
W  0.354309°		 ← 209.11 m →
43 724 m²		 N 46.790658°
W  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499019622802734 y=0.352573394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499019622802734 × 217)
    floor (0.499019622802734 × 131072)
    floor (65407.5)     		tx = 65407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352573394775391 × 217)
    floor (0.352573394775391 × 131072)
    floor (46212.5)     		ty = 46212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65407 / 46212 ti = "17/65407/46212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65407/46212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65407 ÷ 217
    65407 ÷ 131072     		x = 0.499015808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46212 ÷ 217
    46212 ÷ 131072     		y = 0.352569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499015808105469 × 2 - 1) × π
    -0.0019683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00618386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352569580078125 × 2 - 1) × π
    0.29486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.926332648257965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00618386} λ = -0.00618386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926332648257965))-π/2
    2×atan(2.52523126405493)-π/2
    2×1.19374009248-π/2
    2.38748018496-1.57079632675     		φ = 0.81668386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00618386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.354309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81668386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.792538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65407 KachelY 46212 -0.00618386 0.81668386 -0.354309 46.792538
    Oben rechts KachelX + 1 65408 KachelY 46212 -0.00613592 0.81668386 -0.351562 46.792538
    Unten links KachelX 65407 KachelY + 1 46213 -0.00618386 0.81665104 -0.354309 46.790658
    Unten rechts KachelX + 1 65408 KachelY + 1 46213 -0.00613592 0.81665104 -0.351562 46.790658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81668386-0.81665104) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dl = 209.096220000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81668386-0.81665104) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dr = 209.096220000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00618386--0.00613592) × cos(0.81668386) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.684642033659278 × 6371000     		do = 209.107299765493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00618386--0.00613592) × cos(0.81665104) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.684665955114836 × 6371000     		du = 209.114605993758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81668386)-sin(0.81665104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684642033659278-0.684665955114836)×R²
    abs(-0.00613592--0.00618386)×2.39214555582956e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.39214555582956e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.39214555582956e-05×40589641000000     		ar = 43724.309811765m²