Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65406 / 48034
↖ ↑ ↗
← N 43.257205°
W  0.357056°		 ← 222.44 m → N 43.257205°
W  0.354309°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
N 43.255205°
W  0.357056°		 ← 222.44 m →
49 473 m²		 N 43.255205°
W  0.354309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499011993408203 y=0.366474151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499011993408203 × 217)
    floor (0.499011993408203 × 131072)
    floor (65406.5)     		tx = 65406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366474151611328 × 217)
    floor (0.366474151611328 × 131072)
    floor (48034.5)     		ty = 48034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65406 / 48034 ti = "17/65406/48034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65406/48034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65406 ÷ 217
    65406 ÷ 131072     		x = 0.499008178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48034 ÷ 217
    48034 ÷ 131072     		y = 0.366470336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499008178710938 × 2 - 1) × π
    -0.001983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00623180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366470336914062 × 2 - 1) × π
    0.267059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.838991617150223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00623180} λ = -0.00623180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838991617150223))-π/2
    2×atan(2.3140323693348)-π/2
    2×1.16288849545136-π/2
    2.32577699090272-1.57079632675     		φ = 0.75498066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00623180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75498066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.257205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65406 KachelY 48034 -0.00623180 0.75498066 -0.357056 43.257205
    Oben rechts KachelX + 1 65407 KachelY 48034 -0.00618386 0.75498066 -0.354309 43.257205
    Unten links KachelX 65406 KachelY + 1 48035 -0.00623180 0.75494575 -0.357056 43.255205
    Unten rechts KachelX + 1 65407 KachelY + 1 48035 -0.00618386 0.75494575 -0.354309 43.255205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75498066-0.75494575) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75498066-0.75494575) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00623180--0.00618386) × cos(0.75498066) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728284796529339 × 6371000     		do = 222.436922910722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00623180--0.00618386) × cos(0.75494575) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72830871902127 × 6371000     		du = 222.444229455522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75498066)-sin(0.75494575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728284796529339-0.72830871902127)×R²
    abs(-0.00618386--0.00623180)×2.3922491930839e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3922491930839e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3922491930839e-05×40589641000000     		ar = 49473.3666834023m²