Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65403 / 48043
↖ ↑ ↗
← N 43.239200°
W  0.365296°		 ← 222.50 m → N 43.239200°
W  0.362549°		 →
↑
222.48 m
↓
↑
222.48 m
↓
N 43.237199°
W  0.365296°		 ← 222.51 m →
49 502 m²		 N 43.237199°
W  0.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498989105224609 y=0.366542816162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498989105224609 × 217)
    floor (0.498989105224609 × 131072)
    floor (65403.5)     		tx = 65403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366542816162109 × 217)
    floor (0.366542816162109 × 131072)
    floor (48043.5)     		ty = 48043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65403 / 48043 ti = "17/65403/48043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65403/48043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65403 ÷ 217
    65403 ÷ 131072     		x = 0.498985290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48043 ÷ 217
    48043 ÷ 131072     		y = 0.366539001464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498985290527344 × 2 - 1) × π
    -0.0020294189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00637561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366539001464844 × 2 - 1) × π
    0.266921997070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.838560185053642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00637561} λ = -0.00637561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838560185053642))-π/2
    2×atan(2.31303423682682)-π/2
    2×1.16273136951026-π/2
    2.32546273902053-1.57079632675     		φ = 0.75466641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00637561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.365296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75466641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.239200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65403 KachelY 48043 -0.00637561 0.75466641 -0.365296 43.239200
    Oben rechts KachelX + 1 65404 KachelY 48043 -0.00632767 0.75466641 -0.362549 43.239200
    Unten links KachelX 65403 KachelY + 1 48044 -0.00637561 0.75463149 -0.365296 43.237199
    Unten rechts KachelX + 1 65404 KachelY + 1 48044 -0.00632767 0.75463149 -0.362549 43.237199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75466641-0.75463149) × R
    3.49200000000494e-05 × 6371000     		dl = 222.475320000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75466641-0.75463149) × R
    3.49200000000494e-05 × 6371000     		dr = 222.475320000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00637561--0.00632767) × cos(0.75466641) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.728500108103563 × 6371000     		do = 222.502684607614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00637561--0.00632767) × cos(0.75463149) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.72852402945476 × 6371000     		du = 222.509990804005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75466641)-sin(0.75463149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728500108103563-0.72852402945476)×R²
    abs(-0.00632767--0.00637561)×2.39213511963321e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.39213511963321e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.39213511963321e-05×40589641000000     		ar = 49502.1686880593m²