Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65400 / 48026
↖ ↑ ↗
← N 43.273206°
W  0.373535°		 ← 222.38 m → N 43.273206°
W  0.370788°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
N 43.271206°
W  0.373535°		 ← 222.39 m →
49 446 m²		 N 43.271206°
W  0.370788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498966217041016 y=0.366413116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498966217041016 × 217)
    floor (0.498966217041016 × 131072)
    floor (65400.5)     		tx = 65400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366413116455078 × 217)
    floor (0.366413116455078 × 131072)
    floor (48026.5)     		ty = 48026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65400 / 48026 ti = "17/65400/48026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65400/48026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65400 ÷ 217
    65400 ÷ 131072     		x = 0.49896240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48026 ÷ 217
    48026 ÷ 131072     		y = 0.366409301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0020751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00651942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366409301757812 × 2 - 1) × π
    0.267181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.839375112347183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00651942} λ = -0.00651942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839375112347183))-π/2
    2×atan(2.31491995981651)-π/2
    2×1.1630281239618-π/2
    2.32605624792359-1.57079632675     		φ = 0.75525992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00651942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75525992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.273206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65400 KachelY 48026 -0.00651942 0.75525992 -0.373535 43.273206
    Oben rechts KachelX + 1 65401 KachelY 48026 -0.00647148 0.75525992 -0.370788 43.273206
    Unten links KachelX 65400 KachelY + 1 48027 -0.00651942 0.75522502 -0.373535 43.271206
    Unten rechts KachelX + 1 65401 KachelY + 1 48027 -0.00647148 0.75522502 -0.370788 43.271206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75525992-0.75522502) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dl = 222.347899999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75525992-0.75522502) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dr = 222.347899999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00651942--0.00647148) × cos(0.75525992) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728093398353503 × 6371000     		do = 222.378464981233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00651942--0.00647148) × cos(0.75522502) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728117321090117 × 6371000     		du = 222.385771600766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75525992)-sin(0.75522502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728093398353503-0.728117321090117)×R²
    abs(-0.00647148--0.00651942)×2.39227366134465e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39227366134465e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39227366134465e-05×40589641000000     		ar = 49446.1970043671m²