Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65398 / 43198
↖ ↑ ↗
← N 52.163824°
W  0.379028°		 ← 187.31 m → N 52.163824°
W  0.376282°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
N 52.162140°
W  0.379028°		 ← 187.32 m →
35 085 m²		 N 52.162140°
W  0.376282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498950958251953 y=0.329578399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498950958251953 × 217)
    floor (0.498950958251953 × 131072)
    floor (65398.5)     		tx = 65398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329578399658203 × 217)
    floor (0.329578399658203 × 131072)
    floor (43198.5)     		ty = 43198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65398 / 43198 ti = "17/65398/43198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65398/43198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65398 ÷ 217
    65398 ÷ 131072     		x = 0.498947143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43198 ÷ 217
    43198 ÷ 131072     		y = 0.329574584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498947143554688 × 2 - 1) × π
    -0.002105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00661529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329574584960938 × 2 - 1) × π
    0.340850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07081446371281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00661529} λ = -0.00661529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07081446371281))-π/2
    2×atan(2.91775493801154)-π/2
    2×1.24061340495953-π/2
    2.48122680991907-1.57079632675     		φ = 0.91043048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00661529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.379028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91043048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.163824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65398 KachelY 43198 -0.00661529 0.91043048 -0.379028 52.163824
    Oben rechts KachelX + 1 65399 KachelY 43198 -0.00656736 0.91043048 -0.376282 52.163824
    Unten links KachelX 65398 KachelY + 1 43199 -0.00661529 0.91040108 -0.379028 52.162140
    Unten rechts KachelX + 1 65399 KachelY + 1 43199 -0.00656736 0.91040108 -0.376282 52.162140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91043048-0.91040108) × R
    2.94000000000683e-05 × 6371000     		dl = 187.307400000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91043048-0.91040108) × R
    2.94000000000683e-05 × 6371000     		dr = 187.307400000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00661529--0.00656736) × cos(0.91043048) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.613405827061905 × 6371000     		do = 187.310848565452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00661529--0.00656736) × cos(0.91040108) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.613429045972231 × 6371000     		du = 187.317938739043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91043048)-sin(0.91040108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613405827061905-0.613429045972231)×R²
    abs(-0.00656736--0.00661529)×2.32189103259728e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.32189103259728e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.32189103259728e-05×40589641000000     		ar = 35085.3720601655m²