Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65397 / 43314
↖ ↑ ↗
← N 51.967962°
W  0.381775°		 ← 188.17 m → N 51.967962°
W  0.379028°		 →
↑
188.20 m
↓
↑
188.20 m
↓
N 51.966269°
W  0.381775°		 ← 188.18 m →
35 415 m²		 N 51.966269°
W  0.379028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498943328857422 y=0.330463409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498943328857422 × 217)
    floor (0.498943328857422 × 131072)
    floor (65397.5)     		tx = 65397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330463409423828 × 217)
    floor (0.330463409423828 × 131072)
    floor (43314.5)     		ty = 43314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65397 / 43314 ti = "17/65397/43314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65397/43314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65397 ÷ 217
    65397 ÷ 131072     		x = 0.498939514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43314 ÷ 217
    43314 ÷ 131072     		y = 0.330459594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498939514160156 × 2 - 1) × π
    -0.0021209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00666323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330459594726562 × 2 - 1) × π
    0.339080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06525378335689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00666323} λ = -0.00666323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06525378335689))-π/2
    2×atan(2.90157526213841)-π/2
    2×1.23890418101124-π/2
    2.47780836202249-1.57079632675     		φ = 0.90701204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00666323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.381775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90701204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.967962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65397 KachelY 43314 -0.00666323 0.90701204 -0.381775 51.967962
    Oben rechts KachelX + 1 65398 KachelY 43314 -0.00661529 0.90701204 -0.379028 51.967962
    Unten links KachelX 65397 KachelY + 1 43315 -0.00666323 0.90698250 -0.381775 51.966269
    Unten rechts KachelX + 1 65398 KachelY + 1 43315 -0.00661529 0.90698250 -0.379028 51.966269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90701204-0.90698250) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dl = 188.199339999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90701204-0.90698250) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dr = 188.199339999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00666323--0.00661529) × cos(0.90701204) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.616102011842871 × 6371000     		do = 188.173412882597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00666323--0.00661529) × cos(0.90698250) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.61612527923864 × 6371000     		du = 188.180519344167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90701204)-sin(0.90698250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616102011842871-0.61612527923864)×R²
    abs(-0.00661529--0.00666323)×2.32673957683005e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.32673957683005e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.32673957683005e-05×40589641000000     		ar = 35414.7808283773m²