Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65396 / 48024
↖ ↑ ↗
← N 43.277205°
W  0.384522°		 ← 222.36 m → N 43.277205°
W  0.381775°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
N 43.275205°
W  0.384522°		 ← 222.37 m →
49 443 m²		 N 43.275205°
W  0.381775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498935699462891 y=0.366397857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498935699462891 × 217)
    floor (0.498935699462891 × 131072)
    floor (65396.5)     		tx = 65396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366397857666016 × 217)
    floor (0.366397857666016 × 131072)
    floor (48024.5)     		ty = 48024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65396 / 48024 ti = "17/65396/48024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65396/48024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65396 ÷ 217
    65396 ÷ 131072     		x = 0.498931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48024 ÷ 217
    48024 ÷ 131072     		y = 0.36639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.00213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00671117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36639404296875 × 2 - 1) × π
    0.2672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.839470986146423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00671117} λ = -0.00671117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839470986146423))-π/2
    2×atan(2.31514191062746)-π/2
    2×1.16306302535502-π/2
    2.32612605071004-1.57079632675     		φ = 0.75532972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00671117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.384522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75532972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.277205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65396 KachelY 48024 -0.00671117 0.75532972 -0.384522 43.277205
    Oben rechts KachelX + 1 65397 KachelY 48024 -0.00666323 0.75532972 -0.381775 43.277205
    Unten links KachelX 65396 KachelY + 1 48025 -0.00671117 0.75529482 -0.384522 43.275205
    Unten rechts KachelX + 1 65397 KachelY + 1 48025 -0.00666323 0.75529482 -0.381775 43.275205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75532972-0.75529482) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dl = 222.347899999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75532972-0.75529482) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dr = 222.347899999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00671117--0.00666323) × cos(0.75532972) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72804555021983 × 6371000     		do = 222.363850929598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00671117--0.00666323) × cos(0.75529482) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728069474730065 × 6371000     		du = 222.37115809084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75532972)-sin(0.75529482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72804555021983-0.728069474730065)×R²
    abs(-0.00666323--0.00671117)×2.39245102343633e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39245102343633e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39245102343633e-05×40589641000000     		ar = 49442.9476609107m²