Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65393 / 48044
↖ ↑ ↗
← N 43.237199°
W  0.392761°		 ← 222.51 m → N 43.237199°
W  0.390015°		 →
↑
222.48 m
↓
↑
222.48 m
↓
N 43.235199°
W  0.392761°		 ← 222.52 m →
49 504 m²		 N 43.235199°
W  0.390015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498912811279297 y=0.366550445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498912811279297 × 217)
    floor (0.498912811279297 × 131072)
    floor (65393.5)     		tx = 65393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366550445556641 × 217)
    floor (0.366550445556641 × 131072)
    floor (48044.5)     		ty = 48044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65393 / 48044 ti = "17/65393/48044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65393/48044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65393 ÷ 217
    65393 ÷ 131072     		x = 0.498908996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48044 ÷ 217
    48044 ÷ 131072     		y = 0.366546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498908996582031 × 2 - 1) × π
    -0.0021820068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00685498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366546630859375 × 2 - 1) × π
    0.26690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.838512248154022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00685498} λ = -0.00685498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838512248154022))-π/2
    2×atan(2.31292335979437)-π/2
    2×1.16271390820532-π/2
    2.32542781641064-1.57079632675     		φ = 0.75463149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00685498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.392761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75463149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.237199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65393 KachelY 48044 -0.00685498 0.75463149 -0.392761 43.237199
    Oben rechts KachelX + 1 65394 KachelY 48044 -0.00680704 0.75463149 -0.390015 43.237199
    Unten links KachelX 65393 KachelY + 1 48045 -0.00685498 0.75459657 -0.392761 43.235199
    Unten rechts KachelX + 1 65394 KachelY + 1 48045 -0.00680704 0.75459657 -0.390015 43.235199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75463149-0.75459657) × R
    3.49199999999383e-05 × 6371000     		dl = 222.475319999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75463149-0.75459657) × R
    3.49199999999383e-05 × 6371000     		dr = 222.475319999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00685498--0.00680704) × cos(0.75463149) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72852402945476 × 6371000     		do = 222.509990804001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00685498--0.00680704) × cos(0.75459657) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728547949917589 × 6371000     		du = 222.517296729062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75463149)-sin(0.75459657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72852402945476-0.728547949917589)×R²
    abs(-0.00680704--0.00685498)×2.39204628293965e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39204628293965e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39204628293965e-05×40589641000000     		ar = 49503.7941064024m²