Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65393 / 45519
↖ ↑ ↗
← N 48.079914°
W  0.392761°		 ← 204.05 m → N 48.079914°
W  0.390015°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
N 48.078079°
W  0.392761°		 ← 204.06 m →
41 627 m²		 N 48.078079°
W  0.390015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498912811279297 y=0.347286224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498912811279297 × 217)
    floor (0.498912811279297 × 131072)
    floor (65393.5)     		tx = 65393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347286224365234 × 217)
    floor (0.347286224365234 × 131072)
    floor (45519.5)     		ty = 45519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65393 / 45519 ti = "17/65393/45519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65393/45519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65393 ÷ 217
    65393 ÷ 131072     		x = 0.498908996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45519 ÷ 217
    45519 ÷ 131072     		y = 0.347282409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498908996582031 × 2 - 1) × π
    -0.0021820068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00685498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347282409667969 × 2 - 1) × π
    0.305435180664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.959552919694664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00685498} λ = -0.00685498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959552919694664))-π/2
    2×atan(2.61052909634143)-π/2
    2×1.20497456463701-π/2
    2.40994912927401-1.57079632675     		φ = 0.83915280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00685498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.392761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83915280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.079914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65393 KachelY 45519 -0.00685498 0.83915280 -0.392761 48.079914
    Oben rechts KachelX + 1 65394 KachelY 45519 -0.00680704 0.83915280 -0.390015 48.079914
    Unten links KachelX 65393 KachelY + 1 45520 -0.00685498 0.83912078 -0.392761 48.078079
    Unten rechts KachelX + 1 65394 KachelY + 1 45520 -0.00680704 0.83912078 -0.390015 48.078079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83915280-0.83912078) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83915280-0.83912078) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00685498--0.00680704) × cos(0.83915280) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.668093447882094 × 6371000     		do = 204.052935708539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00685498--0.00680704) × cos(0.83912078) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.668117272897252 × 6371000     		du = 204.060212481424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83915280)-sin(0.83912078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668093447882094-0.668117272897252)×R²
    abs(-0.00680704--0.00685498)×2.38250151575192e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38250151575192e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38250151575192e-05×40589641000000     		ar = 41627.4227659822m²