Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65392 / 48048
↖ ↑ ↗
← N 43.229195°
W  0.395508°		 ← 222.49 m → N 43.229195°
W  0.392761°		 →
↑
222.54 m
↓
↑
222.54 m
↓
N 43.227194°
W  0.395508°		 ← 222.50 m →
49 514 m²		 N 43.227194°
W  0.392761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498905181884766 y=0.366580963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498905181884766 × 217)
    floor (0.498905181884766 × 131072)
    floor (65392.5)     		tx = 65392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366580963134766 × 217)
    floor (0.366580963134766 × 131072)
    floor (48048.5)     		ty = 48048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65392 / 48048 ti = "17/65392/48048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65392/48048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65392 ÷ 217
    65392 ÷ 131072     		x = 0.4989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48048 ÷ 217
    48048 ÷ 131072     		y = 0.3665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3665771484375 × 2 - 1) × π
    0.266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.838320500555542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00690291} λ = -0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838320500555542))-π/2
    2×atan(2.31247990481173)-π/2
    2×1.16264405725159-π/2
    2.32528811450317-1.57079632675     		φ = 0.75449179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75449179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.229195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65392 KachelY 48048 -0.00690291 0.75449179 -0.395508 43.229195
    Oben rechts KachelX + 1 65393 KachelY 48048 -0.00685498 0.75449179 -0.392761 43.229195
    Unten links KachelX 65392 KachelY + 1 48049 -0.00690291 0.75445686 -0.395508 43.227194
    Unten rechts KachelX + 1 65393 KachelY + 1 48049 -0.00685498 0.75445686 -0.392761 43.227194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75449179-0.75445686) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dl = 222.539029999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75449179-0.75445686) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dr = 222.539029999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00690291--0.00685498) × cos(0.75449179) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.728619719673954 × 6371000     		do = 222.492796697669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00690291--0.00685498) × cos(0.75445686) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.728643643431446 × 6371000     		du = 222.500102104822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75449179)-sin(0.75445686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728619719673954-0.728643643431446)×R²
    abs(-0.00685498--0.00690291)×2.39237574916062e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39237574916062e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39237574916062e-05×40589641000000     		ar = 49514.1440330697m²