Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65390 / 47994
↖ ↑ ↗
← N 43.337165°
W  0.401001°		 ← 222.14 m → N 43.337165°
W  0.398254°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
N 43.335167°
W  0.401001°		 ← 222.15 m →
49 352 m²		 N 43.335167°
W  0.398254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498889923095703 y=0.366168975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498889923095703 × 217)
    floor (0.498889923095703 × 131072)
    floor (65390.5)     		tx = 65390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366168975830078 × 217)
    floor (0.366168975830078 × 131072)
    floor (47994.5)     		ty = 47994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65390 / 47994 ti = "17/65390/47994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65390/47994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65390 ÷ 217
    65390 ÷ 131072     		x = 0.498886108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47994 ÷ 217
    47994 ÷ 131072     		y = 0.366165161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498886108398438 × 2 - 1) × π
    -0.002227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00699879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366165161132812 × 2 - 1) × π
    0.267669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.840909093135025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00699879} λ = -0.00699879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840909093135025))-π/2
    2×atan(2.31847372756913)-π/2
    2×1.16358627098759-π/2
    2.32717254197518-1.57079632675     		φ = 0.75637622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00699879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.401001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75637622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.337165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65390 KachelY 47994 -0.00699879 0.75637622 -0.401001 43.337165
    Oben rechts KachelX + 1 65391 KachelY 47994 -0.00695085 0.75637622 -0.398254 43.337165
    Unten links KachelX 65390 KachelY + 1 47995 -0.00699879 0.75634135 -0.401001 43.335167
    Unten rechts KachelX + 1 65391 KachelY + 1 47995 -0.00695085 0.75634135 -0.398254 43.335167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75637622-0.75634135) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75637622-0.75634135) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00699879--0.00695085) × cos(0.75637622) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.727327745842511 × 6371000     		do = 222.144614996484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00699879--0.00695085) × cos(0.75634135) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.727351676342428 × 6371000     		du = 222.15192398713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75637622)-sin(0.75634135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727327745842511-0.727351676342428)×R²
    abs(-0.00695085--0.00699879)×2.3930499917113e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.3930499917113e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.3930499917113e-05×40589641000000     		ar = 49351.742016387m²