Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65389 / 48189
↖ ↑ ↗
← N 42.946371°
W  0.403747°		 ← 223.52 m → N 42.946371°
W  0.401001°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
N 42.944360°
W  0.403747°		 ← 223.53 m →
49 971 m²		 N 42.944360°
W  0.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498882293701172 y=0.367656707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498882293701172 × 217)
    floor (0.498882293701172 × 131072)
    floor (65389.5)     		tx = 65389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367656707763672 × 217)
    floor (0.367656707763672 × 131072)
    floor (48189.5)     		ty = 48189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65389 / 48189 ti = "17/65389/48189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65389/48189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65389 ÷ 217
    65389 ÷ 131072     		x = 0.498878479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48189 ÷ 217
    48189 ÷ 131072     		y = 0.367652893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498878479003906 × 2 - 1) × π
    -0.0022430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00704672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367652893066406 × 2 - 1) × π
    0.264694213867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.831561397709114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00704672} λ = -0.00704672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831561397709114))-π/2
    2×atan(2.29690231985993)-π/2
    2×1.16017595086378-π/2
    2.32035190172757-1.57079632675     		φ = 0.74955557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00704672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.403747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74955557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.946371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65389 KachelY 48189 -0.00704672 0.74955557 -0.403747 42.946371
    Oben rechts KachelX + 1 65390 KachelY 48189 -0.00699879 0.74955557 -0.401001 42.946371
    Unten links KachelX 65389 KachelY + 1 48190 -0.00704672 0.74952048 -0.403747 42.944360
    Unten rechts KachelX + 1 65390 KachelY + 1 48190 -0.00699879 0.74952048 -0.401001 42.944360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74955557-0.74952048) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dl = 223.558389999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74955557-0.74952048) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dr = 223.558389999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00704672--0.00699879) × cos(0.74955557) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.731991737317096 × 6371000     		do = 223.522482850375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00704672--0.00699879) × cos(0.74952048) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.732015644157442 × 6371000     		du = 223.529783091673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74955557)-sin(0.74952048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731991737317096-0.732015644157442)×R²
    abs(-0.00699879--0.00704672)×2.39068403452558e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39068403452558e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39068403452558e-05×40589641000000     		ar = 49971.1424147955m²