Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65388 / 44548
↖ ↑ ↗
← N 49.830896°
W  0.406494°		 ← 197.01 m → N 49.830896°
W  0.403747°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
N 49.829125°
W  0.406494°		 ← 197.02 m →
38 811 m²		 N 49.829125°
W  0.403747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498874664306641 y=0.339878082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498874664306641 × 217)
    floor (0.498874664306641 × 131072)
    floor (65388.5)     		tx = 65388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339878082275391 × 217)
    floor (0.339878082275391 × 131072)
    floor (44548.5)     		ty = 44548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65388 / 44548 ti = "17/65388/44548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65388/44548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65388 ÷ 217
    65388 ÷ 131072     		x = 0.498870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44548 ÷ 217
    44548 ÷ 131072     		y = 0.339874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00709466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339874267578125 × 2 - 1) × π
    0.32025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00609964922574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00709466} λ = -0.00709466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00609964922574))-π/2
    2×atan(2.73491306489885)-π/2
    2×1.22025476811341-π/2
    2.44050953622681-1.57079632675     		φ = 0.86971321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00709466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.406494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86971321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.830896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65388 KachelY 44548 -0.00709466 0.86971321 -0.406494 49.830896
    Oben rechts KachelX + 1 65389 KachelY 44548 -0.00704672 0.86971321 -0.403747 49.830896
    Unten links KachelX 65388 KachelY + 1 44549 -0.00709466 0.86968229 -0.406494 49.829125
    Unten rechts KachelX + 1 65389 KachelY + 1 44549 -0.00704672 0.86968229 -0.403747 49.829125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86971321-0.86968229) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dl = 196.991320000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86971321-0.86968229) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dr = 196.991320000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00709466--0.00704672) × cos(0.86971321) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645045722614837 × 6371000     		do = 197.01356716347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00709466--0.00704672) × cos(0.86968229) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645069349638217 × 6371000     		du = 197.02078346457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86971321)-sin(0.86968229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645045722614837-0.645069349638217)×R²
    abs(-0.00704672--0.00709466)×2.36270233808789e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36270233808789e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36270233808789e-05×40589641000000     		ar = 38810.6734308289m²