Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65388 / 44444
↖ ↑ ↗
← N 50.014799°
W  0.406494°		 ← 196.26 m → N 50.014799°
W  0.403747°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
N 50.013034°
W  0.406494°		 ← 196.27 m →
38 513 m²		 N 50.013034°
W  0.403747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498874664306641 y=0.339084625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498874664306641 × 217)
    floor (0.498874664306641 × 131072)
    floor (65388.5)     		tx = 65388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339084625244141 × 217)
    floor (0.339084625244141 × 131072)
    floor (44444.5)     		ty = 44444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65388 / 44444 ti = "17/65388/44444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65388/44444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65388 ÷ 217
    65388 ÷ 131072     		x = 0.498870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44444 ÷ 217
    44444 ÷ 131072     		y = 0.339080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00709466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339080810546875 × 2 - 1) × π
    0.32183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01108508678622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00709466} λ = -0.00709466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01108508678622))-π/2
    2×atan(2.74858184733696)-π/2
    2×1.22185962407366-π/2
    2.44371924814731-1.57079632675     		φ = 0.87292292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00709466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.406494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87292292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.014799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65388 KachelY 44444 -0.00709466 0.87292292 -0.406494 50.014799
    Oben rechts KachelX + 1 65389 KachelY 44444 -0.00704672 0.87292292 -0.403747 50.014799
    Unten links KachelX 65388 KachelY + 1 44445 -0.00709466 0.87289212 -0.406494 50.013034
    Unten rechts KachelX + 1 65389 KachelY + 1 44445 -0.00704672 0.87289212 -0.403747 50.013034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87292292-0.87289212) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87292292-0.87289212) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00709466--0.00704672) × cos(0.87292292) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.642589723561134 × 6371000     		do = 196.263441835054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00709466--0.00704672) × cos(0.87289212) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.642613322538067 × 6371000     		du = 196.270649570047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87292292)-sin(0.87289212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642589723561134-0.642613322538067)×R²
    abs(-0.00704672--0.00709466)×2.35989769321598e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.35989769321598e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.35989769321598e-05×40589641000000     		ar = 38512.8543267243m²