Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65386 / 48170
↖ ↑ ↗
← N 42.984558°
W  0.411987°		 ← 223.38 m → N 42.984558°
W  0.409241°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
N 42.982549°
W  0.411987°		 ← 223.39 m →
49 912 m²		 N 42.982549°
W  0.409241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498859405517578 y=0.367511749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498859405517578 × 217)
    floor (0.498859405517578 × 131072)
    floor (65386.5)     		tx = 65386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367511749267578 × 217)
    floor (0.367511749267578 × 131072)
    floor (48170.5)     		ty = 48170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65386 / 48170 ti = "17/65386/48170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65386/48170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65386 ÷ 217
    65386 ÷ 131072     		x = 0.498855590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48170 ÷ 217
    48170 ÷ 131072     		y = 0.367507934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498855590820312 × 2 - 1) × π
    -0.002288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00719053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367507934570312 × 2 - 1) × π
    0.264984130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.832472198801895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00719053} λ = -0.00719053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832472198801895))-π/2
    2×atan(2.29899529399975)-π/2
    2×1.16050919686758-π/2
    2.32101839373517-1.57079632675     		φ = 0.75022207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00719053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.411987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75022207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.984558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65386 KachelY 48170 -0.00719053 0.75022207 -0.411987 42.984558
    Oben rechts KachelX + 1 65387 KachelY 48170 -0.00714260 0.75022207 -0.409241 42.984558
    Unten links KachelX 65386 KachelY + 1 48171 -0.00719053 0.75018700 -0.411987 42.982549
    Unten rechts KachelX + 1 65387 KachelY + 1 48171 -0.00714260 0.75018700 -0.409241 42.982549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75022207-0.75018700) × R
    3.50699999999149e-05 × 6371000     		dl = 223.430969999458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75022207-0.75018700) × R
    3.50699999999149e-05 × 6371000     		dr = 223.430969999458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00719053--0.00714260) × cos(0.75022207) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.731537479313977 × 6371000     		do = 223.383769704398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00719053--0.00714260) × cos(0.75018700) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.731561389633225 × 6371000     		du = 223.391071008022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75022207)-sin(0.75018700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731537479313977-0.731561389633225)×R²
    abs(-0.00714260--0.00719053)×2.39103192479773e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39103192479773e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39103192479773e-05×40589641000000     		ar = 49911.6680208762m²