Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65385 / 48135
↖ ↑ ↗
← N 43.054841°
W  0.414734°		 ← 223.17 m → N 43.054841°
W  0.411987°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
N 43.052834°
W  0.414734°		 ← 223.18 m →
49 808 m²		 N 43.052834°
W  0.411987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498851776123047 y=0.367244720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498851776123047 × 217)
    floor (0.498851776123047 × 131072)
    floor (65385.5)     		tx = 65385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367244720458984 × 217)
    floor (0.367244720458984 × 131072)
    floor (48135.5)     		ty = 48135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65385 / 48135 ti = "17/65385/48135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65385/48135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65385 ÷ 217
    65385 ÷ 131072     		x = 0.498847961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48135 ÷ 217
    48135 ÷ 131072     		y = 0.367240905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498847961425781 × 2 - 1) × π
    -0.0023040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00723847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367240905761719 × 2 - 1) × π
    0.265518188476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.834149990288597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00723847} λ = -0.00723847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834149990288597))-π/2
    2×atan(2.30285576636023)-π/2
    2×1.16112252952417-π/2
    2.32224505904834-1.57079632675     		φ = 0.75144873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00723847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.414734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75144873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.054841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65385 KachelY 48135 -0.00723847 0.75144873 -0.414734 43.054841
    Oben rechts KachelX + 1 65386 KachelY 48135 -0.00719053 0.75144873 -0.411987 43.054841
    Unten links KachelX 65385 KachelY + 1 48136 -0.00723847 0.75141370 -0.414734 43.052834
    Unten rechts KachelX + 1 65386 KachelY + 1 48136 -0.00719053 0.75141370 -0.411987 43.052834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75144873-0.75141370) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dl = 223.176130000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75144873-0.75141370) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dr = 223.176130000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00723847--0.00719053) × cos(0.75144873) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.730700590857472 × 6371000     		do = 223.174768681084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00723847--0.00719053) × cos(0.75141370) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.730724505322326 × 6371000     		du = 223.182072774208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75144873)-sin(0.75141370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730700590857472-0.730724505322326)×R²
    abs(-0.00719053--0.00723847)×2.39144648536138e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.39144648536138e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.39144648536138e-05×40589641000000     		ar = 49808.0962426839m²