Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65383 / 44561
↖ ↑ ↗
← N 49.807859°
W  0.420227°		 ← 197.11 m → N 49.807859°
W  0.417481°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 49.806087°
W  0.420227°		 ← 197.11 m →
38 842 m²		 N 49.806087°
W  0.417481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498836517333984 y=0.339977264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498836517333984 × 217)
    floor (0.498836517333984 × 131072)
    floor (65383.5)     		tx = 65383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339977264404297 × 217)
    floor (0.339977264404297 × 131072)
    floor (44561.5)     		ty = 44561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65383 / 44561 ti = "17/65383/44561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65383/44561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65383 ÷ 217
    65383 ÷ 131072     		x = 0.498832702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44561 ÷ 217
    44561 ÷ 131072     		y = 0.339973449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498832702636719 × 2 - 1) × π
    -0.0023345947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00733435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339973449707031 × 2 - 1) × π
    0.320053100585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00547646953068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00733435} λ = -0.00733435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00547646953068))-π/2
    2×atan(2.73320925355451)-π/2
    2×1.22005373055718-π/2
    2.44010746111436-1.57079632675     		φ = 0.86931113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00733435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.420227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86931113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.807859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65383 KachelY 44561 -0.00733435 0.86931113 -0.420227 49.807859
    Oben rechts KachelX + 1 65384 KachelY 44561 -0.00728641 0.86931113 -0.417481 49.807859
    Unten links KachelX 65383 KachelY + 1 44562 -0.00733435 0.86928020 -0.420227 49.806087
    Unten rechts KachelX + 1 65384 KachelY + 1 44562 -0.00728641 0.86928020 -0.417481 49.806087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86931113-0.86928020) × R
    3.09300000000956e-05 × 6371000     		dl = 197.055030000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86931113-0.86928020) × R
    3.09300000000956e-05 × 6371000     		dr = 197.055030000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00733435--0.00728641) × cos(0.86931113) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645352917474613 × 6371000     		do = 197.107392380842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00733435--0.00728641) × cos(0.86928020) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645376544115173 × 6371000     		du = 197.114608565018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86931113)-sin(0.86928020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645352917474613-0.645376544115173)×R²
    abs(-0.00728641--0.00733435)×2.36266405596597e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36266405596597e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36266405596597e-05×40589641000000     		ar = 38841.7141147096m²