Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65382 / 65750
↖ ↑ ↗
← S  0.587758°
W  0.422973°		 ← 305.35 m → S  0.587758°
W  0.420227°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.590505°
W  0.422973°		 ← 305.35 m →
93 241 m²		 S  0.590505°
W  0.420227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498828887939453 y=0.501636505126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498828887939453 × 217)
    floor (0.498828887939453 × 131072)
    floor (65382.5)     		tx = 65382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501636505126953 × 217)
    floor (0.501636505126953 × 131072)
    floor (65750.5)     		ty = 65750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65382 / 65750 ti = "17/65382/65750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65382/65750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65382 ÷ 217
    65382 ÷ 131072     		x = 0.498825073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65750 ÷ 217
    65750 ÷ 131072     		y = 0.501632690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498825073242188 × 2 - 1) × π
    -0.002349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00738228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501632690429688 × 2 - 1) × π
    -0.003265380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.010258496518692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00738228} λ = -0.00738228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.010258496518692))-π/2
    2×atan(0.98979394238875)-π/2
    2×0.780269005099972-π/2
    1.56053801019994-1.57079632675     		φ = -0.01025832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00738228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.422973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01025832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.587758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65382 KachelY 65750 -0.00738228 -0.01025832 -0.422973 -0.587758
    Oben rechts KachelX + 1 65383 KachelY 65750 -0.00733435 -0.01025832 -0.420227 -0.587758
    Unten links KachelX 65382 KachelY + 1 65751 -0.00738228 -0.01030625 -0.422973 -0.590505
    Unten rechts KachelX + 1 65383 KachelY + 1 65751 -0.00733435 -0.01030625 -0.420227 -0.590505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01025832--0.01030625) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01025832--0.01030625) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00738228--0.00733435) × cos(-0.01025832) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999947383896804 × 6371000     		do = 305.345963039917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00738228--0.00733435) × cos(-0.01030625) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999946891075568 × 6371000     		du = 305.345812551023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01025832)-sin(-0.01030625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999947383896804-0.999946891075568)×R²
    abs(-0.00733435--0.00738228)×4.92821236042218e-07×R²
    4.79299999999998e-05×4.92821236042218e-07×6371000²
    4.79299999999998e-05×4.92821236042218e-07×40589641000000     		ar = 93241.0401672282m²