Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65382 / 48182
↖ ↑ ↗
← N 42.960443°
W  0.422973°		 ← 223.47 m → N 42.960443°
W  0.420227°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
N 42.958433°
W  0.422973°		 ← 223.48 m →
49 945 m²		 N 42.958433°
W  0.420227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498828887939453 y=0.367603302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498828887939453 × 217)
    floor (0.498828887939453 × 131072)
    floor (65382.5)     		tx = 65382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367603302001953 × 217)
    floor (0.367603302001953 × 131072)
    floor (48182.5)     		ty = 48182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65382 / 48182 ti = "17/65382/48182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65382/48182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65382 ÷ 217
    65382 ÷ 131072     		x = 0.498825073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48182 ÷ 217
    48182 ÷ 131072     		y = 0.367599487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498825073242188 × 2 - 1) × π
    -0.002349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00738228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367599487304688 × 2 - 1) × π
    0.264801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.831896956006455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00738228} λ = -0.00738228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831896956006455))-π/2
    2×atan(2.29767319382089)-π/2
    2×1.1602987497748-π/2
    2.32059749954961-1.57079632675     		φ = 0.74980117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00738228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.422973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74980117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.960443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65382 KachelY 48182 -0.00738228 0.74980117 -0.422973 42.960443
    Oben rechts KachelX + 1 65383 KachelY 48182 -0.00733435 0.74980117 -0.420227 42.960443
    Unten links KachelX 65382 KachelY + 1 48183 -0.00738228 0.74976609 -0.422973 42.958433
    Unten rechts KachelX + 1 65383 KachelY + 1 48183 -0.00733435 0.74976609 -0.420227 42.958433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74980117-0.74976609) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dl = 223.494679999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74980117-0.74976609) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dr = 223.494679999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00738228--0.00733435) × cos(0.74980117) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.73182438464452 × 6371000     		do = 223.471379698551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00738228--0.00733435) × cos(0.74976609) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.731848290977953 × 6371000     		du = 223.478679785058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74980117)-sin(0.74976609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73182438464452-0.731848290977953)×R²
    abs(-0.00733435--0.00738228)×2.39063334321887e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39063334321887e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39063334321887e-05×40589641000000     		ar = 49945.4802651626m²