Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65382 / 47918
↖ ↑ ↗
← N 43.488798°
W  0.422973°		 ← 221.54 m → N 43.488798°
W  0.420227°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
N 43.486805°
W  0.422973°		 ← 221.55 m →
49 091 m²		 N 43.486805°
W  0.420227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498828887939453 y=0.365589141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498828887939453 × 217)
    floor (0.498828887939453 × 131072)
    floor (65382.5)     		tx = 65382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365589141845703 × 217)
    floor (0.365589141845703 × 131072)
    floor (47918.5)     		ty = 47918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65382 / 47918 ti = "17/65382/47918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65382/47918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65382 ÷ 217
    65382 ÷ 131072     		x = 0.498825073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47918 ÷ 217
    47918 ÷ 131072     		y = 0.365585327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498825073242188 × 2 - 1) × π
    -0.002349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00738228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365585327148438 × 2 - 1) × π
    0.268829345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.844552297506149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00738228} λ = -0.00738228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844552297506149))-π/2
    2×atan(2.32693580636926)-π/2
    2×1.16490951631583-π/2
    2.32981903263166-1.57079632675     		φ = 0.75902271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00738228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.422973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75902271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.488798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65382 KachelY 47918 -0.00738228 0.75902271 -0.422973 43.488798
    Oben rechts KachelX + 1 65383 KachelY 47918 -0.00733435 0.75902271 -0.420227 43.488798
    Unten links KachelX 65382 KachelY + 1 47919 -0.00738228 0.75898793 -0.422973 43.486805
    Unten rechts KachelX + 1 65383 KachelY + 1 47919 -0.00733435 0.75898793 -0.420227 43.486805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75902271-0.75898793) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75902271-0.75898793) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00738228--0.00733435) × cos(0.75902271) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.725508940528956 × 6371000     		do = 221.542882863071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00738228--0.00733435) × cos(0.75898793) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.725532876129287 × 6371000     		du = 221.550191886577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75902271)-sin(0.75898793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725508940528956-0.725532876129287)×R²
    abs(-0.00733435--0.00738228)×2.3935600330427e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.3935600330427e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.3935600330427e-05×40589641000000     		ar = 49091.0305839112m²