Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65382 / 43171
↖ ↑ ↗
← N 52.209290°
W  0.422973°		 ← 187.12 m → N 52.209290°
W  0.420227°		 →
↑
187.18 m
↓
↑
187.18 m
↓
N 52.207607°
W  0.422973°		 ← 187.13 m →
35 026 m²		 N 52.207607°
W  0.420227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498828887939453 y=0.329372406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498828887939453 × 217)
    floor (0.498828887939453 × 131072)
    floor (65382.5)     		tx = 65382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329372406005859 × 217)
    floor (0.329372406005859 × 131072)
    floor (43171.5)     		ty = 43171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65382 / 43171 ti = "17/65382/43171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65382/43171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65382 ÷ 217
    65382 ÷ 131072     		x = 0.498825073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43171 ÷ 217
    43171 ÷ 131072     		y = 0.329368591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498825073242188 × 2 - 1) × π
    -0.002349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00738228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329368591308594 × 2 - 1) × π
    0.341262817382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.07210876000256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00738228} λ = -0.00738228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07210876000256))-π/2
    2×atan(2.92153382237265)-π/2
    2×1.24101016654117-π/2
    2.48202033308235-1.57079632675     		φ = 0.91122401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00738228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.422973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91122401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.209290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65382 KachelY 43171 -0.00738228 0.91122401 -0.422973 52.209290
    Oben rechts KachelX + 1 65383 KachelY 43171 -0.00733435 0.91122401 -0.420227 52.209290
    Unten links KachelX 65382 KachelY + 1 43172 -0.00738228 0.91119463 -0.422973 52.207607
    Unten rechts KachelX + 1 65383 KachelY + 1 43172 -0.00733435 0.91119463 -0.420227 52.207607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91122401-0.91119463) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dl = 187.179979999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91122401-0.91119463) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dr = 187.179979999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00738228--0.00733435) × cos(0.91122401) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.612778929500663 × 6371000     		do = 187.119417853549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00738228--0.00733435) × cos(0.91119463) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.612802146909845 × 6371000     		du = 187.126507568748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91122401)-sin(0.91119463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612778929500663-0.612802146909845)×R²
    abs(-0.00733435--0.00738228)×2.32174091816528e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.32174091816528e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.32174091816528e-05×40589641000000     		ar = 35025.6724203969m²