Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65380 / 47979
↖ ↑ ↗
← N 43.367122°
W  0.428467°		 ← 222.03 m → N 43.367122°
W  0.425720°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
N 43.365125°
W  0.428467°		 ← 222.04 m →
49 299 m²		 N 43.365125°
W  0.425720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498813629150391 y=0.366054534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498813629150391 × 217)
    floor (0.498813629150391 × 131072)
    floor (65380.5)     		tx = 65380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366054534912109 × 217)
    floor (0.366054534912109 × 131072)
    floor (47979.5)     		ty = 47979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65380 / 47979 ti = "17/65380/47979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65380/47979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65380 ÷ 217
    65380 ÷ 131072     		x = 0.498809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47979 ÷ 217
    47979 ÷ 131072     		y = 0.366050720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.00238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00747816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366050720214844 × 2 - 1) × π
    0.267898559570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.841628146629326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00747816} λ = -0.00747816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841628146629326))-π/2
    2×atan(2.32014143371749)-π/2
    2×1.16384770024516-π/2
    2.32769540049031-1.57079632675     		φ = 0.75689907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00747816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.428467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75689907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.367122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65380 KachelY 47979 -0.00747816 0.75689907 -0.428467 43.367122
    Oben rechts KachelX + 1 65381 KachelY 47979 -0.00743022 0.75689907 -0.425720 43.367122
    Unten links KachelX 65380 KachelY + 1 47980 -0.00747816 0.75686422 -0.428467 43.365125
    Unten rechts KachelX + 1 65381 KachelY + 1 47980 -0.00743022 0.75686422 -0.425720 43.365125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75689907-0.75686422) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75689907-0.75686422) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00747816--0.00743022) × cos(0.75689907) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.726968819569749 × 6371000     		do = 222.034989674016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00747816--0.00743022) × cos(0.75686422) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72699274959419 × 6371000     		du = 222.042298519439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75689907)-sin(0.75686422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726968819569749-0.72699274959419)×R²
    abs(-0.00743022--0.00747816)×2.39300244401219e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39300244401219e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39300244401219e-05×40589641000000     		ar = 49299.0958288073m²