Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65378 / 48197
↖ ↑ ↗
← N 42.930285°
W  0.433960°		 ← 223.63 m → N 42.930285°
W  0.431213°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
N 42.928274°
W  0.433960°		 ← 223.63 m →
50 009 m²		 N 42.928274°
W  0.431213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498798370361328 y=0.367717742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498798370361328 × 217)
    floor (0.498798370361328 × 131072)
    floor (65378.5)     		tx = 65378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367717742919922 × 217)
    floor (0.367717742919922 × 131072)
    floor (48197.5)     		ty = 48197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65378 / 48197 ti = "17/65378/48197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65378/48197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65378 ÷ 217
    65378 ÷ 131072     		x = 0.498794555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48197 ÷ 217
    48197 ÷ 131072     		y = 0.367713928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498794555664062 × 2 - 1) × π
    -0.002410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00757403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367713928222656 × 2 - 1) × π
    0.264572143554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.831177902512154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00757403} λ = -0.00757403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831177902512154))-π/2
    2×atan(2.29602163773186)-π/2
    2×1.16003557487058-π/2
    2.32007114974116-1.57079632675     		φ = 0.74927482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00757403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.433960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74927482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.930285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65378 KachelY 48197 -0.00757403 0.74927482 -0.433960 42.930285
    Oben rechts KachelX + 1 65379 KachelY 48197 -0.00752609 0.74927482 -0.431213 42.930285
    Unten links KachelX 65378 KachelY + 1 48198 -0.00757403 0.74923972 -0.433960 42.928274
    Unten rechts KachelX + 1 65379 KachelY + 1 48198 -0.00752609 0.74923972 -0.431213 42.928274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74927482-0.74923972) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dl = 223.622099999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74927482-0.74923972) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dr = 223.622099999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00757403--0.00752609) × cos(0.74927482) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73218298723402 × 6371000     		do = 223.62753069136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00757403--0.00752609) × cos(0.74923972) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.732206893672898 × 6371000     		du = 223.634832333145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74927482)-sin(0.74923972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73218298723402-0.732206893672898)×R²
    abs(-0.00752609--0.00757403)×2.39064388787291e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39064388787291e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39064388787291e-05×40589641000000     		ar = 50008.8744401311m²