Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65377 / 47915
↖ ↑ ↗
← N 43.494776°
W  0.436707°		 ← 221.57 m → N 43.494776°
W  0.433960°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
N 43.492783°
W  0.436707°		 ← 221.57 m →
49 096 m²		 N 43.492783°
W  0.433960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498790740966797 y=0.365566253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498790740966797 × 217)
    floor (0.498790740966797 × 131072)
    floor (65377.5)     		tx = 65377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365566253662109 × 217)
    floor (0.365566253662109 × 131072)
    floor (47915.5)     		ty = 47915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65377 / 47915 ti = "17/65377/47915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65377/47915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65377 ÷ 217
    65377 ÷ 131072     		x = 0.498786926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47915 ÷ 217
    47915 ÷ 131072     		y = 0.365562438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498786926269531 × 2 - 1) × π
    -0.0024261474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00762197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365562438964844 × 2 - 1) × π
    0.268875122070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.84469610820501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00762197} λ = -0.00762197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.84469610820501))-π/2
    2×atan(2.32727046869721)-π/2
    2×1.16496168170832-π/2
    2.32992336341664-1.57079632675     		φ = 0.75912704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00762197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.436707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75912704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.494776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65377 KachelY 47915 -0.00762197 0.75912704 -0.436707 43.494776
    Oben rechts KachelX + 1 65378 KachelY 47915 -0.00757403 0.75912704 -0.433960 43.494776
    Unten links KachelX 65377 KachelY + 1 47916 -0.00762197 0.75909226 -0.436707 43.492783
    Unten rechts KachelX + 1 65378 KachelY + 1 47916 -0.00757403 0.75909226 -0.433960 43.492783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75912704-0.75909226) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75912704-0.75909226) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00762197--0.00757403) × cos(0.75912704) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.725437135345301 × 6371000     		do = 221.567173886318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00762197--0.00757403) × cos(0.75909226) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.725461073578125 × 6371000     		du = 221.574485238792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75912704)-sin(0.75909226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725437135345301-0.725461073578125)×R²
    abs(-0.00757403--0.00762197)×2.39382328233173e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39382328233173e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39382328233173e-05×40589641000000     		ar = 49096.4133288806m²