Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65376 / 45472
↖ ↑ ↗
← N 48.166086°
W  0.439453°		 ← 203.67 m → N 48.166086°
W  0.436707°		 →
↑
203.68 m
↓
↑
203.68 m
↓
N 48.164254°
W  0.439453°		 ← 203.68 m →
41 484 m²		 N 48.164254°
W  0.436707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498783111572266 y=0.346927642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498783111572266 × 217)
    floor (0.498783111572266 × 131072)
    floor (65376.5)     		tx = 65376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346927642822266 × 217)
    floor (0.346927642822266 × 131072)
    floor (45472.5)     		ty = 45472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65376 / 45472 ti = "17/65376/45472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65376/45472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65376 ÷ 217
    65376 ÷ 131072     		x = 0.498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45472 ÷ 217
    45472 ÷ 131072     		y = 0.346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346923828125 × 2 - 1) × π
    0.30615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961805953976807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00766990} λ = -0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961805953976807))-π/2
    2×atan(2.61641733860505)-π/2
    2×1.20572655256758-π/2
    2.41145310513516-1.57079632675     		φ = 0.84065678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84065678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.166086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65376 KachelY 45472 -0.00766990 0.84065678 -0.439453 48.166086
    Oben rechts KachelX + 1 65377 KachelY 45472 -0.00762197 0.84065678 -0.436707 48.166086
    Unten links KachelX 65376 KachelY + 1 45473 -0.00766990 0.84062481 -0.439453 48.164254
    Unten rechts KachelX + 1 65377 KachelY + 1 45473 -0.00762197 0.84062481 -0.436707 48.164254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84065678-0.84062481) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dl = 203.680869999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84065678-0.84062481) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dr = 203.680869999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00766990--0.00762197) × cos(0.84065678) × R
    4.79300000000007e-05 × 0.666973615209768 × 6371000     		do = 203.668417096897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00766990--0.00762197) × cos(0.84062481) × R
    4.79300000000007e-05 × 0.666997435119211 × 6371000     		du = 203.675690792799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84065678)-sin(0.84062481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666973615209768-0.666997435119211)×R²
    abs(-0.00762197--0.00766990)×2.38199094436675e-05×R²
    4.79300000000007e-05×2.38199094436675e-05×6371000²
    4.79300000000007e-05×2.38199094436675e-05×40589641000000     		ar = 41484.1011458124m²