Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65374 / 47782
↖ ↑ ↗
← N 43.759193°
W  0.444946°		 ← 220.59 m → N 43.759193°
W  0.442200°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
N 43.757209°
W  0.444946°		 ← 220.60 m →
48 656 m²		 N 43.757209°
W  0.442200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498767852783203 y=0.364551544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498767852783203 × 217)
    floor (0.498767852783203 × 131072)
    floor (65374.5)     		tx = 65374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364551544189453 × 217)
    floor (0.364551544189453 × 131072)
    floor (47782.5)     		ty = 47782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65374 / 47782 ti = "17/65374/47782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65374/47782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65374 ÷ 217
    65374 ÷ 131072     		x = 0.498764038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47782 ÷ 217
    47782 ÷ 131072     		y = 0.364547729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498764038085938 × 2 - 1) × π
    -0.002471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00776578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364547729492188 × 2 - 1) × π
    0.270904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851071715854477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00776578} λ = -0.00776578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851071715854477))-π/2
    2×atan(2.34215563266099)-π/2
    2×1.16726915816995-π/2
    2.3345383163399-1.57079632675     		φ = 0.76374199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00776578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.444946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76374199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.759193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65374 KachelY 47782 -0.00776578 0.76374199 -0.444946 43.759193
    Oben rechts KachelX + 1 65375 KachelY 47782 -0.00771784 0.76374199 -0.442200 43.759193
    Unten links KachelX 65374 KachelY + 1 47783 -0.00776578 0.76370737 -0.444946 43.757209
    Unten rechts KachelX + 1 65375 KachelY + 1 47783 -0.00771784 0.76370737 -0.442200 43.757209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76374199-0.76370737) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76374199-0.76370737) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00776578--0.00771784) × cos(0.76374199) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.722253004850498 × 6371000     		do = 220.594658473686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00776578--0.00771784) × cos(0.76370737) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.722276948611728 × 6371000     		du = 220.601971514678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76374199)-sin(0.76370737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722253004850498-0.722276948611728)×R²
    abs(-0.00771784--0.00776578)×2.39437612304938e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39437612304938e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39437612304938e-05×40589641000000     		ar = 48656.0511651007m²