Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65373 / 47964
↖ ↑ ↗
← N 43.397065°
W  0.447693°		 ← 221.88 m → N 43.397065°
W  0.444946°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
N 43.395069°
W  0.447693°		 ← 221.89 m →
49 236 m²		 N 43.395069°
W  0.444946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498760223388672 y=0.365940093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498760223388672 × 217)
    floor (0.498760223388672 × 131072)
    floor (65373.5)     		tx = 65373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365940093994141 × 217)
    floor (0.365940093994141 × 131072)
    floor (47964.5)     		ty = 47964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65373 / 47964 ti = "17/65373/47964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65373/47964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65373 ÷ 217
    65373 ÷ 131072     		x = 0.498756408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47964 ÷ 217
    47964 ÷ 131072     		y = 0.365936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498756408691406 × 2 - 1) × π
    -0.0024871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00781371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365936279296875 × 2 - 1) × π
    0.26812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.842347200123627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00781371} λ = -0.00781371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842347200123627))-π/2
    2×atan(2.32181033946703)-π/2
    2×1.16410900045316-π/2
    2.32821800090632-1.57079632675     		φ = 0.75742167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00781371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.447693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75742167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.397065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65373 KachelY 47964 -0.00781371 0.75742167 -0.447693 43.397065
    Oben rechts KachelX + 1 65374 KachelY 47964 -0.00776578 0.75742167 -0.444946 43.397065
    Unten links KachelX 65373 KachelY + 1 47965 -0.00781371 0.75738684 -0.447693 43.395069
    Unten rechts KachelX + 1 65374 KachelY + 1 47965 -0.00776578 0.75738684 -0.444946 43.395069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75742167-0.75738684) × R
    3.48300000000412e-05 × 6371000     		dl = 221.901930000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75742167-0.75738684) × R
    3.48300000000412e-05 × 6371000     		dr = 221.901930000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00781371--0.00776578) × cos(0.75742167) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.726609866326579 × 6371000     		do = 221.879063799512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00781371--0.00776578) × cos(0.75738684) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.726633795847469 × 6371000     		du = 221.886370966588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75742167)-sin(0.75738684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726609866326579-0.726633795847469)×R²
    abs(-0.00776578--0.00781371)×2.39295208896984e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39295208896984e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39295208896984e-05×40589641000000     		ar = 49236.2032261337m²