Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65373 / 43175
↖ ↑ ↗
← N 52.202557°
W  0.447693°		 ← 187.15 m → N 52.202557°
W  0.444946°		 →
↑
187.18 m
↓
↑
187.18 m
↓
N 52.200874°
W  0.447693°		 ← 187.15 m →
35 031 m²		 N 52.200874°
W  0.444946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498760223388672 y=0.329402923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498760223388672 × 217)
    floor (0.498760223388672 × 131072)
    floor (65373.5)     		tx = 65373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329402923583984 × 217)
    floor (0.329402923583984 × 131072)
    floor (43175.5)     		ty = 43175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65373 / 43175 ti = "17/65373/43175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65373/43175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65373 ÷ 217
    65373 ÷ 131072     		x = 0.498756408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43175 ÷ 217
    43175 ÷ 131072     		y = 0.329399108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498756408691406 × 2 - 1) × π
    -0.0024871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00781371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329399108886719 × 2 - 1) × π
    0.341201782226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.07191701240408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00781371} λ = -0.00781371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07191701240408))-π/2
    2×atan(2.92097367898313)-π/2
    2×1.2409514126456-π/2
    2.48190282529121-1.57079632675     		φ = 0.91110650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00781371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.447693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91110650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.202557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65373 KachelY 43175 -0.00781371 0.91110650 -0.447693 52.202557
    Oben rechts KachelX + 1 65374 KachelY 43175 -0.00776578 0.91110650 -0.444946 52.202557
    Unten links KachelX 65373 KachelY + 1 43176 -0.00781371 0.91107712 -0.447693 52.200874
    Unten rechts KachelX + 1 65374 KachelY + 1 43176 -0.00776578 0.91107712 -0.444946 52.200874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91110650-0.91107712) × R
    2.93800000000788e-05 × 6371000     		dl = 187.179980000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91110650-0.91107712) × R
    2.93800000000788e-05 × 6371000     		dr = 187.179980000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00781371--0.00776578) × cos(0.91110650) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.612871788061718 × 6371000     		do = 187.147773332255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00781371--0.00776578) × cos(0.91107712) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.612895003355115 × 6371000     		du = 187.154862401374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91110650)-sin(0.91107712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612871788061718-0.612895003355115)×R²
    abs(-0.00776578--0.00781371)×2.32152933964391e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.32152933964391e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.32152933964391e-05×40589641000000     		ar = 35030.9799379413m²