Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65372 / 47965
↖ ↑ ↗
← N 43.395069°
W  0.450439°		 ← 221.93 m → N 43.395069°
W  0.447693°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
N 43.393074°
W  0.450439°		 ← 221.94 m →
49 248 m²		 N 43.393074°
W  0.447693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498752593994141 y=0.365947723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498752593994141 × 217)
    floor (0.498752593994141 × 131072)
    floor (65372.5)     		tx = 65372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365947723388672 × 217)
    floor (0.365947723388672 × 131072)
    floor (47965.5)     		ty = 47965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65372 / 47965 ti = "17/65372/47965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65372/47965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65372 ÷ 217
    65372 ÷ 131072     		x = 0.498748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47965 ÷ 217
    47965 ÷ 131072     		y = 0.365943908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00786165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365943908691406 × 2 - 1) × π
    0.268112182617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.842299263224007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00786165} λ = -0.00786165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842299263224007))-π/2
    2×atan(2.3216990417455)-π/2
    2×1.16409158445432-π/2
    2.32818316890865-1.57079632675     		φ = 0.75738684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00786165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.450439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75738684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.395069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65372 KachelY 47965 -0.00786165 0.75738684 -0.450439 43.395069
    Oben rechts KachelX + 1 65373 KachelY 47965 -0.00781371 0.75738684 -0.447693 43.395069
    Unten links KachelX 65372 KachelY + 1 47966 -0.00786165 0.75735201 -0.450439 43.393074
    Unten rechts KachelX + 1 65373 KachelY + 1 47966 -0.00781371 0.75735201 -0.447693 43.393074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75738684-0.75735201) × R
    3.48300000000412e-05 × 6371000     		dl = 221.901930000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75738684-0.75735201) × R
    3.48300000000412e-05 × 6371000     		dr = 221.901930000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00786165--0.00781371) × cos(0.75738684) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.726633795847469 × 6371000     		do = 221.932664805721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00786165--0.00781371) × cos(0.75735201) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.726657724486858 × 6371000     		du = 221.939973228114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75738684)-sin(0.75735201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726633795847469-0.726657724486858)×R²
    abs(-0.00781371--0.00786165)×2.39286393893812e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39286393893812e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39286393893812e-05×40589641000000     		ar = 49248.0975319317m²