Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65371 / 48481
↖ ↑ ↗
← N 42.356514°
W  0.453186°		 ← 225.70 m → N 42.356514°
W  0.450439°		 →
↑
225.66 m
↓
↑
225.66 m
↓
N 42.354485°
W  0.453186°		 ← 225.71 m →
50 932 m²		 N 42.354485°
W  0.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498744964599609 y=0.369884490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498744964599609 × 217)
    floor (0.498744964599609 × 131072)
    floor (65371.5)     		tx = 65371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369884490966797 × 217)
    floor (0.369884490966797 × 131072)
    floor (48481.5)     		ty = 48481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65371 / 48481 ti = "17/65371/48481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65371/48481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65371 ÷ 217
    65371 ÷ 131072     		x = 0.498741149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48481 ÷ 217
    48481 ÷ 131072     		y = 0.369880676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498741149902344 × 2 - 1) × π
    -0.0025177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00790959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369880676269531 × 2 - 1) × π
    0.260238647460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.817563823020058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00790959} λ = -0.00790959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817563823020058))-π/2
    2×atan(2.2649752302881)-π/2
    2×1.1550284806392-π/2
    2.31005696127841-1.57079632675     		φ = 0.73926063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00790959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.453186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73926063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.356514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65371 KachelY 48481 -0.00790959 0.73926063 -0.453186 42.356514
    Oben rechts KachelX + 1 65372 KachelY 48481 -0.00786165 0.73926063 -0.450439 42.356514
    Unten links KachelX 65371 KachelY + 1 48482 -0.00790959 0.73922521 -0.453186 42.354485
    Unten rechts KachelX + 1 65372 KachelY + 1 48482 -0.00786165 0.73922521 -0.450439 42.354485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73926063-0.73922521) × R
    3.54200000000082e-05 × 6371000     		dl = 225.660820000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73926063-0.73922521) × R
    3.54200000000082e-05 × 6371000     		dr = 225.660820000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00790959--0.00786165) × cos(0.73926063) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73896690508883 × 6371000     		do = 225.699513822265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00790959--0.00786165) × cos(0.73922521) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.738990768557211 × 6371000     		du = 225.706802339754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73926063)-sin(0.73922521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73896690508883-0.738990768557211)×R²
    abs(-0.00786165--0.00790959)×2.38634683802363e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38634683802363e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38634683802363e-05×40589641000000     		ar = 50932.3597346709m²