Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65370 / 47966
↖ ↑ ↗
← N 43.393074°
W  0.455933°		 ← 221.94 m → N 43.393074°
W  0.453186°		 →
↑
221.97 m
↓
↑
221.97 m
↓
N 43.391078°
W  0.455933°		 ← 221.95 m →
49 264 m²		 N 43.391078°
W  0.453186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498737335205078 y=0.365955352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498737335205078 × 217)
    floor (0.498737335205078 × 131072)
    floor (65370.5)     		tx = 65370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365955352783203 × 217)
    floor (0.365955352783203 × 131072)
    floor (47966.5)     		ty = 47966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65370 / 47966 ti = "17/65370/47966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65370/47966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65370 ÷ 217
    65370 ÷ 131072     		x = 0.498733520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47966 ÷ 217
    47966 ÷ 131072     		y = 0.365951538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498733520507812 × 2 - 1) × π
    -0.002532958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00795753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365951538085938 × 2 - 1) × π
    0.268096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.842251326324387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00795753} λ = -0.00795753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842251326324387))-π/2
    2×atan(2.32158774935912)-π/2
    2×1.1640741678819-π/2
    2.3281483357638-1.57079632675     		φ = 0.75735201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00795753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.455933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75735201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.393074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65370 KachelY 47966 -0.00795753 0.75735201 -0.455933 43.393074
    Oben rechts KachelX + 1 65371 KachelY 47966 -0.00790959 0.75735201 -0.453186 43.393074
    Unten links KachelX 65370 KachelY + 1 47967 -0.00795753 0.75731717 -0.455933 43.391078
    Unten rechts KachelX + 1 65371 KachelY + 1 47967 -0.00790959 0.75731717 -0.453186 43.391078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75735201-0.75731717) × R
    3.48399999999804e-05 × 6371000     		dl = 221.965639999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75735201-0.75731717) × R
    3.48399999999804e-05 × 6371000     		dr = 221.965639999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00795753--0.00790959) × cos(0.75735201) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.726657724486858 × 6371000     		do = 221.939973228122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00795753--0.00790959) × cos(0.75731717) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.726681659114461 × 6371000     		du = 221.947283479469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75735201)-sin(0.75731717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726657724486858-0.726681659114461)×R²
    abs(-0.00790959--0.00795753)×2.39346276034169e-05×R²
    4.79400000000015e-05×2.39346276034169e-05×6371000²
    4.79400000000015e-05×2.39346276034169e-05×40589641000000     		ar = 49263.8595164383m²