Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65367 / 48490
↖ ↑ ↗
← N 42.338245°
W  0.464173°		 ← 225.77 m → N 42.338245°
W  0.461426°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
N 42.336215°
W  0.464173°		 ← 225.77 m →
50 962 m²		 N 42.336215°
W  0.461426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498714447021484 y=0.369953155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498714447021484 × 217)
    floor (0.498714447021484 × 131072)
    floor (65367.5)     		tx = 65367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369953155517578 × 217)
    floor (0.369953155517578 × 131072)
    floor (48490.5)     		ty = 48490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65367 / 48490 ti = "17/65367/48490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65367/48490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65367 ÷ 217
    65367 ÷ 131072     		x = 0.498710632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48490 ÷ 217
    48490 ÷ 131072     		y = 0.369949340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498710632324219 × 2 - 1) × π
    -0.0025787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00810134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369949340820312 × 2 - 1) × π
    0.260101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.817132390923477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00810134} λ = -0.00810134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817132390923477))-π/2
    2×atan(2.26399825803954)-π/2
    2×1.15486905045201-π/2
    2.30973810090401-1.57079632675     		φ = 0.73894177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00810134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.464173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73894177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.338245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65367 KachelY 48490 -0.00810134 0.73894177 -0.464173 42.338245
    Oben rechts KachelX + 1 65368 KachelY 48490 -0.00805340 0.73894177 -0.461426 42.338245
    Unten links KachelX 65367 KachelY + 1 48491 -0.00810134 0.73890634 -0.464173 42.336215
    Unten rechts KachelX + 1 65368 KachelY + 1 48491 -0.00805340 0.73890634 -0.461426 42.336215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73894177-0.73890634) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73894177-0.73890634) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00810134--0.00805340) × cos(0.73894177) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.739181696805892 × 6371000     		do = 225.765116741394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00810134--0.00805340) × cos(0.73890634) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.739205558661815 × 6371000     		du = 225.772404766397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73894177)-sin(0.73890634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739181696805892-0.739205558661815)×R²
    abs(-0.00805340--0.00810134)×2.38618559235126e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38618559235126e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38618559235126e-05×40589641000000     		ar = 50961.5474152356m²