Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65366 / 43373
↖ ↑ ↗
← N 51.868012°
W  0.466919°		 ← 188.55 m → N 51.868012°
W  0.464173°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
N 51.866316°
W  0.466919°		 ← 188.56 m →
35 558 m²		 N 51.866316°
W  0.464173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498706817626953 y=0.330913543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498706817626953 × 217)
    floor (0.498706817626953 × 131072)
    floor (65366.5)     		tx = 65366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330913543701172 × 217)
    floor (0.330913543701172 × 131072)
    floor (43373.5)     		ty = 43373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65366 / 43373 ti = "17/65366/43373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65366/43373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65366 ÷ 217
    65366 ÷ 131072     		x = 0.498703002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43373 ÷ 217
    43373 ÷ 131072     		y = 0.330909729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498703002929688 × 2 - 1) × π
    -0.002593994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00814927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330909729003906 × 2 - 1) × π
    0.338180541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0624255062793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00814927} λ = -0.00814927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0624255062793))-π/2
    2×atan(2.89338039747223)-π/2
    2×1.23803195666554-π/2
    2.47606391333108-1.57079632675     		φ = 0.90526759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00814927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.466919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90526759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.868012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65366 KachelY 43373 -0.00814927 0.90526759 -0.466919 51.868012
    Oben rechts KachelX + 1 65367 KachelY 43373 -0.00810134 0.90526759 -0.464173 51.868012
    Unten links KachelX 65366 KachelY + 1 43374 -0.00814927 0.90523799 -0.466919 51.866316
    Unten rechts KachelX + 1 65367 KachelY + 1 43374 -0.00810134 0.90523799 -0.464173 51.866316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90526759-0.90523799) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dl = 188.581599999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90526759-0.90523799) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dr = 188.581599999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00814927--0.00810134) × cos(0.90526759) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.617475118314194 × 6371000     		do = 188.553455602912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00814927--0.00810134) × cos(0.90523799) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.61749840111992 × 6371000     		du = 188.560565287733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90526759)-sin(0.90523799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617475118314194-0.61749840111992)×R²
    abs(-0.00810134--0.00814927)×2.32828057260548e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.32828057260548e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.32828057260548e-05×40589641000000     		ar = 35558.382723522m²