Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65361 / 48469
↖ ↑ ↗
← N 42.380865°
W  0.480652°		 ← 225.61 m → N 42.380865°
W  0.477905°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
N 42.378836°
W  0.480652°		 ← 225.62 m →
50 898 m²		 N 42.378836°
W  0.477905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498668670654297 y=0.369792938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498668670654297 × 217)
    floor (0.498668670654297 × 131072)
    floor (65361.5)     		tx = 65361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369792938232422 × 217)
    floor (0.369792938232422 × 131072)
    floor (48469.5)     		ty = 48469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65361 / 48469 ti = "17/65361/48469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65361/48469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65361 ÷ 217
    65361 ÷ 131072     		x = 0.498664855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48469 ÷ 217
    48469 ÷ 131072     		y = 0.369789123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498664855957031 × 2 - 1) × π
    -0.0026702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00838896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369789123535156 × 2 - 1) × π
    0.260421752929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.818139065815498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00838896} λ = -0.00838896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818139065815498))-π/2
    2×atan(2.26627851578804)-π/2
    2×1.1552409821443-π/2
    2.31048196428861-1.57079632675     		φ = 0.73968564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00838896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.480652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73968564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.380865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65361 KachelY 48469 -0.00838896 0.73968564 -0.480652 42.380865
    Oben rechts KachelX + 1 65362 KachelY 48469 -0.00834102 0.73968564 -0.477905 42.380865
    Unten links KachelX 65361 KachelY + 1 48470 -0.00838896 0.73965023 -0.480652 42.378836
    Unten rechts KachelX + 1 65362 KachelY + 1 48470 -0.00834102 0.73965023 -0.477905 42.378836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73968564-0.73965023) × R
    3.5410000000069e-05 × 6371000     		dl = 225.59711000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73968564-0.73965023) × R
    3.5410000000069e-05 × 6371000     		dr = 225.59711000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00838896--0.00834102) × cos(0.73968564) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.738680491385449 × 6371000     		do = 225.612035704972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00838896--0.00834102) × cos(0.73965023) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.738704359235858 × 6371000     		du = 225.619325560845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73968564)-sin(0.73965023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738680491385449-0.738704359235858)×R²
    abs(-0.00834102--0.00838896)×2.38678504086431e-05×R²
    4.79400000000015e-05×2.38678504086431e-05×6371000²
    4.79400000000015e-05×2.38678504086431e-05×40589641000000     		ar = 50898.2455269421m²