Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65359 / 48143
↖ ↑ ↗
← N 43.038784°
W  0.486145°		 ← 223.23 m → N 43.038784°
W  0.483398°		 →
↑
223.24 m
↓
↑
223.24 m
↓
N 43.036776°
W  0.486145°		 ← 223.24 m →
49 835 m²		 N 43.036776°
W  0.483398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498653411865234 y=0.367305755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498653411865234 × 217)
    floor (0.498653411865234 × 131072)
    floor (65359.5)     		tx = 65359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367305755615234 × 217)
    floor (0.367305755615234 × 131072)
    floor (48143.5)     		ty = 48143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65359 / 48143 ti = "17/65359/48143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65359/48143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65359 ÷ 217
    65359 ÷ 131072     		x = 0.498649597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48143 ÷ 217
    48143 ÷ 131072     		y = 0.367301940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498649597167969 × 2 - 1) × π
    -0.0027008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00848483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367301940917969 × 2 - 1) × π
    0.265396118164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.833766495091637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00848483} λ = -0.00848483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833766495091637))-π/2
    2×atan(2.30197280155174)-π/2
    2×1.16098240109998-π/2
    2.32196480219996-1.57079632675     		φ = 0.75116848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00848483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.486145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75116848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.038784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65359 KachelY 48143 -0.00848483 0.75116848 -0.486145 43.038784
    Oben rechts KachelX + 1 65360 KachelY 48143 -0.00843689 0.75116848 -0.483398 43.038784
    Unten links KachelX 65359 KachelY + 1 48144 -0.00848483 0.75113344 -0.486145 43.036776
    Unten rechts KachelX + 1 65360 KachelY + 1 48144 -0.00843689 0.75113344 -0.483398 43.036776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75116848-0.75113344) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dl = 223.239839999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75116848-0.75113344) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dr = 223.239839999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00848483--0.00843689) × cos(0.75116848) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.730891888292755 × 6371000     		do = 223.233195841811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00848483--0.00843689) × cos(0.75113344) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.730915802407826 × 6371000     		du = 223.240499828103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75116848)-sin(0.75113344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730891888292755-0.730915802407826)×R²
    abs(-0.00843689--0.00848483)×2.39141150709665e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39141150709665e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39141150709665e-05×40589641000000     		ar = 49835.3581976904m²