Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65358 / 48464
↖ ↑ ↗
← N 42.391008°
W  0.488892°		 ← 225.58 m → N 42.391008°
W  0.486145°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
N 42.388980°
W  0.488892°		 ← 225.58 m →
50 876 m²		 N 42.388980°
W  0.486145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498645782470703 y=0.369754791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498645782470703 × 217)
    floor (0.498645782470703 × 131072)
    floor (65358.5)     		tx = 65358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369754791259766 × 217)
    floor (0.369754791259766 × 131072)
    floor (48464.5)     		ty = 48464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65358 / 48464 ti = "17/65358/48464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65358/48464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65358 ÷ 217
    65358 ÷ 131072     		x = 0.498641967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48464 ÷ 217
    48464 ÷ 131072     		y = 0.3697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498641967773438 × 2 - 1) × π
    -0.002716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00853277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3697509765625 × 2 - 1) × π
    0.260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.818378750313599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00853277} λ = -0.00853277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818378750313599))-π/2
    2×atan(2.26682177271918)-π/2
    2×1.15532950012476-π/2
    2.31065900024951-1.57079632675     		φ = 0.73986267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00853277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.488892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73986267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.391008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65358 KachelY 48464 -0.00853277 0.73986267 -0.488892 42.391008
    Oben rechts KachelX + 1 65359 KachelY 48464 -0.00848483 0.73986267 -0.486145 42.391008
    Unten links KachelX 65358 KachelY + 1 48465 -0.00853277 0.73982727 -0.488892 42.388980
    Unten rechts KachelX + 1 65359 KachelY + 1 48465 -0.00848483 0.73982727 -0.486145 42.388980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73986267-0.73982727) × R
    3.53999999999077e-05 × 6371000     		dl = 225.533399999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73986267-0.73982727) × R
    3.53999999999077e-05 × 6371000     		dr = 225.533399999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00853277--0.00848483) × cos(0.73986267) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.738561151724616 × 6371000     		do = 225.575586300742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00853277--0.00848483) × cos(0.73982727) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.738585017463638 × 6371000     		du = 225.582875511744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73986267)-sin(0.73982727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738561151724616-0.738585017463638)×R²
    abs(-0.00848483--0.00853277)×2.38657390222441e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38657390222441e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38657390222441e-05×40589641000000     		ar = 50875.6509207835m²