Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65358 / 43165
↖ ↑ ↗
← N 52.219387°
W  0.488892°		 ← 187.12 m → N 52.219387°
W  0.486145°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
N 52.217704°
W  0.488892°		 ← 187.12 m →
35 001 m²		 N 52.217704°
W  0.486145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498645782470703 y=0.329326629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498645782470703 × 217)
    floor (0.498645782470703 × 131072)
    floor (65358.5)     		tx = 65358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329326629638672 × 217)
    floor (0.329326629638672 × 131072)
    floor (43165.5)     		ty = 43165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65358 / 43165 ti = "17/65358/43165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65358/43165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65358 ÷ 217
    65358 ÷ 131072     		x = 0.498641967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43165 ÷ 217
    43165 ÷ 131072     		y = 0.329322814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498641967773438 × 2 - 1) × π
    -0.002716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00853277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329322814941406 × 2 - 1) × π
    0.341354370117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.07239638140028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00853277} λ = -0.00853277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07239638140028))-π/2
    2×atan(2.92237423886922)-π/2
    2×1.24109828069295-π/2
    2.48219656138589-1.57079632675     		φ = 0.91140023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00853277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.488892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91140023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.219387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65358 KachelY 43165 -0.00853277 0.91140023 -0.488892 52.219387
    Oben rechts KachelX + 1 65359 KachelY 43165 -0.00848483 0.91140023 -0.486145 52.219387
    Unten links KachelX 65358 KachelY + 1 43166 -0.00853277 0.91137087 -0.488892 52.217704
    Unten rechts KachelX + 1 65359 KachelY + 1 43166 -0.00848483 0.91137087 -0.486145 52.217704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91140023-0.91137087) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dl = 187.052559999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91140023-0.91137087) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dr = 187.052559999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00853277--0.00848483) × cos(0.91140023) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.612639661360251 × 6371000     		do = 187.115921924303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00853277--0.00848483) × cos(0.91137087) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.612662866134812 × 6371000     		du = 187.123009259745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91140023)-sin(0.91137087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612639661360251-0.612662866134812)×R²
    abs(-0.00848483--0.00853277)×2.32047745610808e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.32047745610808e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.32047745610808e-05×40589641000000     		ar = 35001.1750673495m²