Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65354 / 45514
↖ ↑ ↗
← N 48.089088°
W  0.499878°		 ← 204.02 m → N 48.089088°
W  0.497131°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
N 48.087253°
W  0.499878°		 ← 204.02 m →
41 620 m²		 N 48.087253°
W  0.497131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498615264892578 y=0.347248077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498615264892578 × 217)
    floor (0.498615264892578 × 131072)
    floor (65354.5)     		tx = 65354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347248077392578 × 217)
    floor (0.347248077392578 × 131072)
    floor (45514.5)     		ty = 45514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65354 / 45514 ti = "17/65354/45514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65354/45514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65354 ÷ 217
    65354 ÷ 131072     		x = 0.498611450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45514 ÷ 217
    45514 ÷ 131072     		y = 0.347244262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498611450195312 × 2 - 1) × π
    -0.002777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00872452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347244262695312 × 2 - 1) × π
    0.305511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.959792604192764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00872452} λ = -0.00872452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959792604192764))-π/2
    2×atan(2.61115487468935)-π/2
    2×1.20505462331862-π/2
    2.41010924663723-1.57079632675     		φ = 0.83931292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00872452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.499878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83931292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.089088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65354 KachelY 45514 -0.00872452 0.83931292 -0.499878 48.089088
    Oben rechts KachelX + 1 65355 KachelY 45514 -0.00867658 0.83931292 -0.497131 48.089088
    Unten links KachelX 65354 KachelY + 1 45515 -0.00872452 0.83928090 -0.499878 48.087253
    Unten rechts KachelX + 1 65355 KachelY + 1 45515 -0.00867658 0.83928090 -0.497131 48.087253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83931292-0.83928090) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83931292-0.83928090) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00872452--0.00867658) × cos(0.83931292) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.667974297648362 × 6371000     		do = 204.01654416023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00872452--0.00867658) × cos(0.83928090) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.667998126088618 × 6371000     		du = 204.023821979229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83931292)-sin(0.83928090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667974297648362-0.667998126088618)×R²
    abs(-0.00867658--0.00872452)×2.38284402566125e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38284402566125e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38284402566125e-05×40589641000000     		ar = 41619.9990181466m²