Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65346 / 45506
↖ ↑ ↗
← N 48.103763°
W  0.521851°		 ← 203.96 m → N 48.103763°
W  0.519104°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 48.101929°
W  0.521851°		 ← 203.97 m →
41 595 m²		 N 48.101929°
W  0.519104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498554229736328 y=0.347187042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498554229736328 × 217)
    floor (0.498554229736328 × 131072)
    floor (65346.5)     		tx = 65346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347187042236328 × 217)
    floor (0.347187042236328 × 131072)
    floor (45506.5)     		ty = 45506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65346 / 45506 ti = "17/65346/45506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65346/45506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65346 ÷ 217
    65346 ÷ 131072     		x = 0.498550415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45506 ÷ 217
    45506 ÷ 131072     		y = 0.347183227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498550415039062 × 2 - 1) × π
    -0.002899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00910801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347183227539062 × 2 - 1) × π
    0.305633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.960176099389725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00910801} λ = -0.00910801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960176099389725))-π/2
    2×atan(2.61215643207626)-π/2
    2×1.2051826875096-π/2
    2.41036537501919-1.57079632675     		φ = 0.83956905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00910801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.521851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83956905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.103763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65346 KachelY 45506 -0.00910801 0.83956905 -0.521851 48.103763
    Oben rechts KachelX + 1 65347 KachelY 45506 -0.00906007 0.83956905 -0.519104 48.103763
    Unten links KachelX 65346 KachelY + 1 45507 -0.00910801 0.83953704 -0.521851 48.101929
    Unten rechts KachelX + 1 65347 KachelY + 1 45507 -0.00906007 0.83953704 -0.519104 48.101929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83956905-0.83953704) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dl = 203.935710000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83956905-0.83953704) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dr = 203.935710000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00910801--0.00906007) × cos(0.83956905) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.66778366780403 × 6371000     		do = 203.958320898959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00910801--0.00906007) × cos(0.83953704) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.667807494278508 × 6371000     		du = 203.965598117558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83956905)-sin(0.83953704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66778366780403-0.667807494278508)×R²
    abs(-0.00906007--0.00910801)×2.38264744784056e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38264744784056e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38264744784056e-05×40589641000000     		ar = 41595.1270288564m²