Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65346 / 45378
↖ ↑ ↗
← N 48.337995°
W  0.521851°		 ← 203.03 m → N 48.337995°
W  0.519104°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
N 48.336169°
W  0.521851°		 ← 203.03 m →
41 211 m²		 N 48.336169°
W  0.519104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498554229736328 y=0.346210479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498554229736328 × 217)
    floor (0.498554229736328 × 131072)
    floor (65346.5)     		tx = 65346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346210479736328 × 217)
    floor (0.346210479736328 × 131072)
    floor (45378.5)     		ty = 45378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65346 / 45378 ti = "17/65346/45378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65346/45378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65346 ÷ 217
    65346 ÷ 131072     		x = 0.498550415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45378 ÷ 217
    45378 ÷ 131072     		y = 0.346206665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498550415039062 × 2 - 1) × π
    -0.002899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00910801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346206665039062 × 2 - 1) × π
    0.307586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966312022541092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00910801} λ = -0.00910801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966312022541092))-π/2
    2×atan(2.62823369719266)-π/2
    2×1.20722674496133-π/2
    2.41445348992267-1.57079632675     		φ = 0.84365716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00910801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.521851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84365716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.337995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65346 KachelY 45378 -0.00910801 0.84365716 -0.521851 48.337995
    Oben rechts KachelX + 1 65347 KachelY 45378 -0.00906007 0.84365716 -0.519104 48.337995
    Unten links KachelX 65346 KachelY + 1 45379 -0.00910801 0.84362530 -0.521851 48.336169
    Unten rechts KachelX + 1 65347 KachelY + 1 45379 -0.00906007 0.84362530 -0.519104 48.336169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84365716-0.84362530) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84365716-0.84362530) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00910801--0.00906007) × cos(0.84365716) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.664735089286876 × 6371000     		do = 203.027206549409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00910801--0.00906007) × cos(0.84362530) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.664758890891319 × 6371000     		du = 203.034476172059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84365716)-sin(0.84362530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664735089286876-0.664758890891319)×R²
    abs(-0.00906007--0.00910801)×2.3801604442375e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3801604442375e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3801604442375e-05×40589641000000     		ar = 41211.2123647137m²